巧破解，妙拓展

张新村

摘 要：解析几何是高中数学中重要的知识点之一，也是历年高考中的重点和难点。以椭圆和双曲线为背景的高考解答题，思路虽然明朗，但运算要求灵活严谨，对代数运算的要求比较高。以抛物线为背景的解析几何问题，抛物线方程特点鲜明，几何特征简洁明了，只要找到恰当巧妙的切入点，巧妙运用一些经典、简单的结论，在解题时就有事半功倍之效。以一道抛物线两条切线交点问题作为切入点，在课堂教学中进行拓展探究，抛砖引玉，以期为新高考复习备考提供些许帮助。

关键词：抛物线;探究;韦达定理

一、问题呈现

问题：已知抛物线C：x2=4y。过抛物线C上两点A，B分别作抛物线的两条切线PA，PB，P为两条切线交点，O为坐标原点。若■·■，则直线OA，OB斜率之积为（ ）

分析：本题主要考查抛物线标准方程及性质，直线与抛物线相切，考查学生的运算能力和抽象概括能力，也考查学生的核心素养数学，其中涉及的运算工具是导数和向量。

二、问题破解

解法一：（特殊位置定结论）

本题是选择题，并且是圆锥曲线动态中求定值问题，

点评：解法一由特殊得到一般结论，对于动态下求定值或定点问题，往往可以由特殊位置或特殊值锁定结论，然后再对一般情况进行论证;解法二则是通过解析法论证解法一的结论。两种解法中两个关键切入点：导数几何意义应用和向量数量积的转化。学生处理这个问题薄弱的地方就是没有想到利用导数求切线斜率，大多数学生采用的是解法一。

三、拓展探究

对这个抛物线问题的讲解如仅仅停留在本题表面的求解，那么就错失了一次很好的探究机会，教学中尝试通过反问和提问来激发学生的思考。

问题2：本题中两条动直线相交于一点P，且垂直，除了直线OA，OB斜率之积为定值，是否还存在定性的结论？

学生能够根据解法一求出点P坐标（0，-1），从而猜想点P可能在定直线y=-1上运动，接下来就是证明切线的交点P在定直线y=-1上，即证两切线交点P的纵坐标为定值-1。

问题3：若抛物线方程不变，P是直线y=-1上动点，过点P的直线分别与抛物线相切于A，B，试问直线AB是否过定点？

以抛物线焦点在y轴上为例，通过以上拓展问题的研究可以总结出如下有用信息：在直线与抛物线位置关系的问题中，若直线恒过定点，则必可以找到x1+x2与x1·x2的线性组合的式子;反之，若题目中给出的条件能化简为关于x1+x2与x1·x2的线性组合的式子，则可证明直线过定点，且定点不一定在坐标轴上。

四、教后感悟

总之，如何在新高考模式下是高三复习真正高效，我想需要我们重新认识课堂的教学建构，目标和过程不能仅限于学生当前的感受，需要思考从哪个切入點调动学生的活跃思维;需思考以哪个独特的知识点去感染学生，引发思维碰撞;也需想好从哪里延伸开去，使学生思维活动继续，让学生的思维得到充分的锻炼，形成良好的数学品质，培养核心素养。

参考文献：

司林森.多角度巧思维：一道抛物线最值题的破解[J].高中数理化，2019（10）.