数学建模思想在常微分方程教学中的应用
2021-10-08王金妮
【摘要】 常微分方程是一门重要的数学基础课程，它在数学、自然科学与工程技术中的应用是十分广泛的，但是常微分方程课程的学习是十分枯燥困难的，因此教师在进行常微分方程课程授课过程中需结合物理背景，并渗透数学建模思想，这样不仅能够激发学生对教学内容的兴趣，还能提高教师的教学质量。本文结合人口模型阐述了数学建模思想在常微分方程教学中的必要性及基本思路，并进一步分析了其优点，希望能在教学多元化方面作进一步提升。
【关键词】 常微分方程 数学建模 教学 人口模型 应用
引言：
17世纪，牛顿和莱布尼茨共同研究出了微积分这门学科，而后科学家们在利用微积分处理实际问题的过程中进一步给出了微分方程概念、相关性质及应用。随后，莱布尼茨、雅克比·伯努利、惠更斯、欧拉等科学家们对微分方程的解进行深入研究，将微分方程提升到更高的理论水平。微分方程经过不断发展，目前已经有很多领域开始结合微分方程思想解决相关问题，如：与流体力学结合研究牛顿流、非牛顿流的特性，与空气和动力结合研究原子弹、炸药爆炸后，激波在介质中的传播规律，与化学结合研究物质反应的平衡关系等。至今，常微分方程已经发展为各个领域中解决问题的重要工具，更是数学领域中的一门核心课程。
而常微分方程课程是比较抽象、枯燥且不易理解的，教学过程中需要探索更多学生容易接受的方法，便于学生理解，激发学生学习兴趣。另一方面，近年来数学建模在国际数学教育大会中占有很重要的地位，且在美国、英国等一些西方国家是一类非常热门的话题。1991年起，中国逐步开展数学建模竞赛活动，随着国内竞赛体系不断发展，带动了大学课程体系的不断完善，使得数学建模课程称为大学数学教学中必不可少的部分，也成为其他课程的必备工具。
一、常微分方程教学中渗透数学建模思想的必要性
常微分方程课程主要是让学生掌握相关的概念、原理和方法[1]，为后续的课程打下基础，比如偏微分方程、泛函分析等，更重要的是，通过常微分方程课程的学习，使学生们能用微积分思想来解决实际生活、工作中存在的问题。数学建模是利用事物变化的因果关系形成系统，分析系统中各个变量对整体产生的影响[2]。教师在教学的过程中把相关的教学课题转换成数学模型就是一种将抽象问题转换为具体问题的一种重要方式，这种方式对于学生分析问题、解决问题来说有很大帮助[3，4]。因此虽然常微分方程学习起来较为枯燥困难，但若在知识讲授过程中引入实际模型案例，便可加深学生对知识的理解和掌握，课后引导学生在知识的应用中进一步结合数学建模思想，从而达到知识的巩固和应用。
二、数学建模在常微分方程教学中的实际应用
2.1 知识讲授过程中渗透数学建模思想
常微分方程学习的初始阶段，多数学生在知识的学习中暂时处于被动接受的过程，没有探索知识的主观能动性，对常微分方程的解法，如分离变量法、常数变易法等，及解的相关问题，如求边界值、初值等概念模糊，相关方法掌握不透彻，教学过程中如果单纯的从理论出发给学生讲授求解常微分方程，学生无法形成系统的认识，此时若引入生活中实际的案例便可帮助学生理解概念，例如：教师在讲授常微分方程的初等解法之“分离变量法”内容时，首先讲授分离变量法的基本理论，然后循序渐进引入人口發展模型。
具体地，首先我们以第七次全国人口普查（2020年开展的全国人口普查）引入人口预测问题。事实上，人口普查只能为我们提供部分时间点的横截面数值，但往往在现实生活中，我们可能需要其他时间点的人口构成及总数，于是我们的目标就是如何利用已知的部分时间点的信息尽可能准确的预测出其他时间点的人口数据。为了更好的让学生理解人口预测模型，教师在案例教学的过程中首先分析引入马尔萨斯人口模型[5]：
（1）
其中x（t）表示t时刻的人口数量，r表示人口增长率。我们发现（1）式为常微分方程且能够进行分离变量，若令x（0）=x0，可解得：
（2）
通过上式我们就能发现马尔萨斯人口模型的一个显著特点是种群数量以指数形式增长，这显然不符合人口实际发展态势，其原因是该模型中假定人口增长率是稳定的。事实上，人口的增长率受到很多因素的影响，如：经济因素、医疗卫生因素、文化因素等。接下来教师便可引入Verhulst-Pearl改进后的模型。
假设目前地球的饱和人口数量为K，则人口增长率为，此时
（3）
上式便是Verhulst-Pearl于1938年提出的Logistic人口模型[5]。观察发现（3）式是一个可分离变量的方程，再次利用本节课学习的分离变量法解该方程，其解为：
（4）
通过对本方程各变量的分析，发现Logistic人口模型更符合人口发展规律，之后有许多对人口模型作出了改进[6]，而且有效地预测我们所需要的人口数据。
通过引入人口模型让学生们意识到知识是需要不断探索的，它来源于生活又应用于生活，也能够让学生提前对数学建模有一定的认知，为以后的数学建模课程打下扎实的基础，所以将数学建模思想应用于课程讲授中是大有裨益的。
2.2在知识应用中渗透数学建模思想
常微分方程的应用领域非常广泛，在很多学科都可以找到常微分方程的影子。该课程教学目的是培养学生利用常微分方程解决生活中的实际问题能力。因此课后的知识应用尤为重要。我们在课后可以引导学生运用数学建模解决实际问题。例如，学习一阶微分方程的初等解法后，教师可以引导学生思考：通过数据得搜集和统计，建立一个能真正预测某传染病的发展的合理的数学模型，并且以此模型为依据从而为某传染病预防和控制工作给出合理的建议。
2.2.1 建模思路
事实上，建立一个合理准确的模型对于某传染病的防控极其重要，我们知道，logistic模型对传染病的发展趋势能够进行合理的模拟。假设没有境外输入和人员的大量流窜，logistic曲线的S型能够很好的模拟某传染病的发展，从而对某传染病进行预测，并与实际数据进行对比，可以得出较为准确的预测值。在本模型中我们使用增长率r（x）为病例数x（t）的线性减函数来模拟政府、医疗机构的措施抑制病情的发展。并对病例数x（t）求一阶导数和二阶导数研究某传染病的发展状态，即可对某传染病的预测和估计。
2.2.2 模型的建立
要对若干天的传染病感染人数进行预测和评估，最重要的影响因素是初始时刻的确诊人数x0和在若干天后确诊人数的增长率r（r>0）。t天后的确诊人数x（t）可表示为：
（5）
将离散型（5）式连续化，得到指数增长模型：
（6）
随着确诊人数的增加和扩散，政府、医疗部门会采取有效措施预防和控制疾病的迅速蔓延，确诊人数的增长率会随着确诊人数的增加而逐渐减少最终为零。可用增长率表示确诊人数x（t）的减函数r（x），假设r（x）与x（t）呈线形关系：
（7）
显然，当确诊人数达到最大值时会出现零增长现象。于是令xm为最大传染病例数，当x=xm时，增长率为零，即r（xm）=0代入（7）式得到，所以确诊人数的增长率r（x）可表示为：
（8）
将（8）代入（6）中得：
（9）
解上述非线性微分方程得：
（10）
（10）式即为关于某传染病的logistic数学模型。
logistic曲线的特点是初期增长缓慢，而在以后某一时间范围内迅速增长，达到某一限度后，增长又缓慢下来直至零增长，曲线略呈S型。下面对logistic函数作进一步的研究，进而了解某传染病的传播规律。
首先求函数的一阶导数得到传染过程中的速度函数：
（11）
然后求（11）速度函数的一阶导数，并令其等于0，解得：
此时某传染病传播速度最快，即为高峰期。
其次求（11）生长速度函数的二阶导数，并令其的等于0，解得：
这是速度函数得两个拐点，加上高峰点，这样logistic曲线有三个关键点。这三个点对应着传染病传染过程的三个关键时期：始盛期，高峰期，消退期，利用速度函数的两个拐点将logistic曲线的生长过程分为渐增期0→t1，快增期t1→t2，缓增期t2→tm。学生可搜索相关数据进行模型求解，从而可进一步预测某传染病的传播和發展趋势。
这些问题能够让学生在研究的过程中更加理解常微分方程相关知识，还能提高学生学习的积极性和学生对知识的求知欲望，同时也感受到团队的力量，培养学生的团结协作能力。另外，教师在对学生授课时也融入了课程思政理念，让学生间接体会抗疫者的伟大，体会国家的伟大，不仅达到提高教师教学质量的目的，也响应了教育部的号召。
三、结束语
综上所述，通过在常微分方程教学中融入数学建模思想，使实际问题具象化、符号化，首先，引入模型思想与传统教学模式相比，更易理解，且利于提升学生的分析问题解决问题能力;让学生在应用中学习，感受到知识来源于生活、回归于生活，这样既能提高学生学习的兴趣，培养学生将抽象问题转化为数学问题的能力，使之对数学学科有更深刻的理解和认识，为学生后续的发展打下基础，也为以后的科研方向起引导作用。
作者简介：王金妮（1991-），女，汉族，陕西志丹，硕士研究生，助教，偏微分方程
参 考 文 献
[1] 王高雄，周之铭，朱思铭，等.常微分方程（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2] 姜启源，谢金星，叶俊.数学模型（第五版）[M].北京：高等教育出版社，2018.
[3] 刁光成. 常微分方程在数学建模中的应用[J]. 开封教育学院学报， 2018， 38（01）：137-138.
[4] 汤卫，陈玉玲，杨赟.大学生数学建模思维的培养模式分析[J].贵州广播电视大学学报，2020，28（04）：60-65.
[5] 高梅，康宝生，曹黎侠.数学模型在西安市人口预测中的应用[J].西安工业大学学报，2019，39（04）：373-377.
[6] 汪爱红，丁建林.分离变量微分方程的人口总量预测模型改进[J].高师理科学刊，2018，38（06）：10-14.
