从图形运动看全等三角形

第一章 全等三角形

领    衔    人：王金坤

组稿团队：江苏省盐城市毓龙路实验学校

在以前的学习活动中，我们常常将一个图形平移、翻折、旋转，以此来进一步认识图形的性质。图形的平移、翻折、旋转统称为图形的运动。图形的运动不改变图形的形状、大小，也就是说，运动前、后的两个图形是全等图形。下面，让我们一起通过图形运动的方式来认识全等三角形。

一、在图形运动中感受全等三角形

问题1：我们观察图1、图2、图3中的两个全等图形，想一想，怎样改变其中一个图形的位置，使其与另一个图形完全重合？你能按照同样的方法，在这3个图中分别画出第3个、第4个图形吗？（苏科版数学八年级上册第7页。）

通过观察，我们发现，在图1中可以平移其中一个图形得到另一个图形，在图2中可以把其中一个图形翻折得到另一个图形，在图3中可以把其中一个图形旋转得到另一个图形。按照同样的运动方式，我们可以分别画出第3个、第4个图形。

上述过程中，我们经历了观察、比较、思考、画图等活动，体会到图形运动的本质是图形的形状、大小不变，只是图形的位置发生变化。因此，我们可以用动态的、直观的方法认识全等三角形。

二、在图形运动中识别全等三角形的对应边、对应角

两个能完全重合的三角形叫作全等三角形，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。表示两个三角形全等时，通常要把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样方便找出全等三角形的对应边与对应角。那么，怎样正确地找出全等三角形的对应元素呢？

问题2：图4、图5、图6中的两个三角形是全等三角形，请你找出它们的对应顶点、对应边、对应角。

这3个图形中的两个三角形是全等三角形，说明它们能分别完全重合。我们可以用一张透明纸覆盖在其中一个三角形上，用笔描出这个三角形，然后移动这张透明纸，尝试与另一个三角形重合。在操作活动中，我们发现，图4中，平移△ABC可以与△DEF重合，点A与点D、点B与点E、点C与点F分别重合，这样就找到了它们的对应顶点，接下来就找出了对应边、对应角。类似地，图5中，将△ABC沿BC所在直线翻折，可以与△DBC重合;图6中，将△ABC绕点C旋转180°，可以与△DEC重合。

下面，请同学们用上述方法尝试解决问题3。

问题3：图7、图8、图9分别是两个全等三角形的组合图形，想一想，怎样改变其中一个图形的位置，使其可以与另一个图形完全重合？请你找出各对全等三角形的对应顶点、对应边、对应角。

三、在图形运动中发现复杂图形中的全等三角形

在本章的学习中，我们要认识全等三角形及其性质，学习两个三角形全等的条件，学会利用全等三角形探索图形的性质，其中，识别并证明三角形全等是关键。

问题4：已知，如图10，点D、E分别在AB、AC上，AB=AC，∠B=∠C，你能证明AD=AE吗？

这个问题中，我们也可以用一张透明纸覆盖在图10上，画出△ABE，尝试与△ACD重合。操作中不难发现，先将△ABE绕点A顺时针旋转，旋转角为∠A，使AE落在AD所在直线上，再沿AD所在直线翻折就能与△ACD重合。更简单的方法是，将△ABE沿AF所在直线翻折与△ACD重合。这样，我们用图形运动的方法找到了全等三角形，接下来思考如何证明△ABE≌△ACD。

问题5：已知，如图11，点E、F在CD上，DE=CF，AC=DB，且AC∥BD，你发现AE与BF有什么关系？证明你的发现。

观察图形，从直观来看，将△ACE沿EC方向平移，使点E与点F重合，再将△ACE绕点F旋转180°，就可以与△BDF重合，或者将△ACE绕点EF中点旋转180°，就可以与△BDF重合。这样的图形运动给我们提供了思路，通過证明△ACE≌△BDF，从而发现AE=BF，AE∥BF。请同学们自己写出证明过程。

上述两个问题中，我们都是先观察图形，用图形运动的方法先识别两个全等三角形，再根据三角形全等的条件进行证明。接下来，请同学们自己解决以下问题：

问题6：如图12，已知AB=AD，∠1=∠2，∠3=∠4。请找出图中的全等三角形并进行证明。

问题7：如图13，已知∠DAB=∠EAC=60°，AB=AD，AC=AE，BE、CD相交于点O，AB、CD相交于点P，AC、BE相交于点F。你能求出∠DOE的大小吗？

问题8：如图14，已知点C、D在BE上，BC=ED，∠1=∠2，∠3=∠4。图中有哪些全等三角形？请分别加以证明。

图形的平移、翻折、旋转给了我们对全等三角形的初步的、动态的、本质的认识，使我们对全等三角形有了更深刻的感悟。借助图形的运动，我们探索并发现了许多图形的性质。当然，确认一个图形的性质，通常需要运用推理的方法，有时也可以运用图形运动的方法，请同学们在今后的学习中进一步体会。

（作者单位：江苏省盐城市毓龙路实验学校）