小学数学PBL+CT教学促进学生计算思维培养的研究*——以“怎样围面积最大”为例

张 屹 王 珏 谢 玲 王丹丹 李 幸 莫 尉

（1. 华中师范大学人工智能教育学部教育信息技术学院，武汉 430079；2. 华中科技大学附属小学，武汉 430074；3. 江汉大学教育学院，武汉 430056）

一、引言

随着国际上对计算思维培养的不断普及与重视，它已经成为基础教育课程改革的重要突破口。数学是培养学生思维的重要学科，计算思维与数学思维联系紧密，在问题解决、建模、数据及解释、统计与概率等方面具有共同的思维模式（Shute，Sun，& Asbell-Clarke，2017）。因此，研究者提出在数学学科中实践计算思维，可提高学生解决问题的能力（Barr & Stephenson，2011；Costa，Campos，& Guerrero，2017）。2014年，美国数学教师协会（NCTM）提出“行动原则：确保每个学生数学成功”的教学实践要点以及美国《通用数学国家核心标准》（CCSSM）数学实践间接映射计算思维实践的发展趋势（Pérez，2018）。2016年美国计算机科学标准将计算思维作为核心内容与核心实践，并创设在数学、科学等基础学科中的实践途径（K-12 computer science framework，2016）。PISA（Program for International Student Assessment）作为评估学生能力的国际测试，2021年的测试将数学推理与计算思维作为重点的考察内容（PISA，2021）。小学是基础教育阶段培养计算思维的关键时期，针对我国目前小学数学学科计算思维理念与实践不足的问题，突破以信息技术、社团、编程为主的计算思维培养模式，在数学这一基础学科中探索学生计算思维的培养，具有重要的理论与实践价值。

二、文献综述

（一）计算思维的内涵

Computational Thinking（简称CT），在我国香港、台湾地区被译为“运算思维”，在大陆则被称为“计算思维”。2006年美国卡内基·梅隆大学的周以真（Jeannette M. Wing）在美国计算机权威期刊Communications of the ACM提出“计算思维”的定义，体现求解问题、系统设计与理解人类行为的特征，受到全世界的广泛关注，并逐步被引入到教育教学中（Wing，2006）。综合国际上计算思维的定义，它体现了人面对现实生活中复杂的问题，借助计算机科学的思想与方法去理解问题本质，形成问题解决的数字化方案，是问题求解的一系列思维活动和思考方式（Wing，2006；任友群，黄荣怀，2016）。美国国际教育技术协会（ISTE，2011）认为它包含形成问题、组织和分析数据、抽象再现数据、算法支持自动化、实施以找到优化解决方案、一般化的过程。舒特等人整合了不同的专家观点并提出了计算思维的核心要素有分解、抽象、算法、调试、迭代和一般化（Shute, Sun, & Asbell-Clarke, 2017）。亚达夫等人认为计算思维的核心步骤包括分解问题，使用一系列步骤，迁移方案，最后确定计算机是否帮助人们更有效地解决问题（Yadav，Hong，& Stephenson，2016）。同时，计算思维体现培养人的复合的、高阶的思维能力为目标。英国学校计算课程组（CAS）认为计算思维是“逻辑、算法、递归和抽象能力的复合能力”；南安普顿大学约翰·伍拉德（John Woollard）提出计算思维是“能够反映人们的抽象能力、分解能力、算法能力、评估能力和概括能力”（任友群，隋丰蔚，李锋，2016）。科尔克马兹（Özgen Korkmaz）等人基于文献，提出五大计算思维核心技能，并通过结构方程建模验证得到包含创造力、算法思维、批判性思维、问题解决与合作学习（Korkmaz，Çakir，& Özden，2017）。

（二）计算思维的教学与测评研究

计算思维的教学模式可分为不插电和插电模式。不插电，即不使用或很少使用计算机开展的教学活动，一般通过游戏化教学，帮助学生理解计算思维概念与原理。贝尔（Tim Bell）团队深入开发了一系列“不插电的计算机科学”活动，通过基于游戏的学习来学习计算机科学的概念，通过实证研究验证了有效性（Bell & Vahrenhold，2018）。计算思维插电模式是使用计算机等技术开展的教学实践活动，通过创设学习环境，使用非编程或编程工具，将计算思维核心要素融入教学流程，目前比较普遍的计算思维实践体现在编程教学上。麻省理工学院（MIT）基于Scratch环境提出计算思维概念、实践与观念的三维课程教学框架（Brennan & Resnick，2012）。森古普塔（Pratim Sengupta）等通过构建了CTSiM的可视化编程学习环境，使用计算建模任务将科学与计算思维进行整合的教学方法（Sengupta，et al.，2013）。郭守超等人提出了以App Inventor为编程工具，通过师生合作形式，学生利用计算思维思想解决问题，构建中小学信息技术课程学习的学生计算思维的培养模式（郭守超等，2014）。在数学学科中，科索普洛斯（Donna Kotsopoulos）等人提出以建构主义和社会建构主义为理论基础，包含不插电、修改（参与对现有对象的更改和/或修改）、制作（构建新对象）和重新混合（重用组件以用于其他目的）的计算思维数学教学框架（CTPF）（Kotsopoulos，et al.，2017），主要是根据数学结合编程内容进行的分类实践。温特罗普（David Weintrop）等人提出数学计算思维实践分类学，包括数据实践、建立模型和模拟实验、智能计算问题解决实践、系统思维实践（Weintrop，et al.，2016）。巴塞洛斯（Thiago Schumacher Barcelos）等人对2006年至2017年间发表的数学计算思维文献进行系统研究，在35项提到软件工具结合数学课程的具体实例中，22项使用编程语言或环境进行教学活动，8项使用了学习对象或特定的软件工具（Barcelos，et al.，2018）。总体来看，目前国际上已有的数学课程的计算思维实践，主要通过构建编程环境，创建融合计算思维技能与数学内容相关的实例。

计算思维教学策略注重问题设计、协作学习、学习反思、支架、游戏化等策略的应用。科斯塔等人（2017）为数学教学创建了包括内容定义、数据收集、数据表示、数据分析、问题分解、自动化工具等步骤中的问题设计指南来促进计算思维的分步教学。鲍宇等人设计的自主培养教学模型是由问题引导学习者运用计算思维思考，培养学生的自主能力（鲍宇，孟凡荣，张艳群，2015）。有学者依据文献论证了在程序教学中运用计算概念、反思、信息处理和构造计算机脚手架等教学策略培养和提高学生计算思维的方式（Lye & Koh，2014），例如，他们介绍了信息处理策略，通过提供诸如隐喻、思维导图和可视化程序之类的结构来帮助学生掌握计算概念。夸克等人通过3D教育益智游戏，采用游戏化策略来培养学生数学、计算概念和计算思维（Kwak，Yurov，& Floyd，2015）。

数学学科计算思维的评测上，巴塞洛斯等人（2018）通过系统研究，发现准实验研究在实证研究中最普遍，其中进行前后测试和课堂观察是最常用的评价方法。科尔克马兹等人（2017）设计学科通用量表综合评价学生计算思维能力。专门针对计算思维的能力测试有国际Bebras测验（International Bebras Contest）和数学PISA测试，这些测试题考察学生基于现实情境进行问题解决的能力。虽然国际上对培养计算思维的理论与实践做了一些探索，但在数学学科的研究，总体还不够丰富，需要开展更多的理论与实证研究来进一步促进学生计算思维的培养。

（三）PBL教学

基于问题的学习（Problem-Based Learning）是由加拿大巴罗斯（Howard S. Barrows）教授首次在医学教学中提出，之后作为一种重要的教学法在不同的学科得到快速地流行与普及。PBL是以问题为核心，学生以小组协作的学习形式致力于共同解决现实中复杂的、有意义问题的教学（Barrows & Bennett，1972）。国内刘儒德教授认为PBL是以建构主义学习理论、情境认知理论为基础，以小组协作、教师提供资源获取的途径为指导的学习方式，让学习者解决拟真情境中问题的一种教学模式（刘儒德，2001）。

PBL教学与传统教学法不同的是，它具有以下一些典型的特点：1. PBL的学习过程以问题为激发和驱动，围绕问题获取知识与技能，构成一个螺旋上升的迭代发展的过程。2. 以学习者为中心，协作探究解决问题，教师为促进者、引导者，师生构成学习共同体。PBL 的大多数学习发生在小组中，学生个人和集体承担学习的责任（吴刚，2012）。3. 注重推理过程，使用各种学习工具和资源，帮助更有效地解决问题。巴罗斯提出了PBL学习要素包括建构情境，建立推理过程，发展自我导向学习技能，增强学习动机（Barrows，1986）。4. 注重批判性思维发展，通过各个环节的学习反思来审视问题解决方案执行的有效性。过程要素体现探究、推理和反思的特征，以支持认知过程的发展（Hung，2006）。

三、小学数学PBL+CT教学促进学生计算思维培养的理论模型

目前在数学学科进行的计算思维研究，较多的是非插电的或插电编程的教学模式。随着国内智慧教室的建设与发展，小学数学教学越来越多地基于数字化环境开展探究活动与问题解决，教学模式有待进一步扩展。因此，本研究综合PBL教学与计算思维的相关研究，在小学数学学科中构建PBL+CT教学促进学生计算思维培养的理论模型，模型分为三层：内容层以PISA情境问题设计为导向，强调利用数学与计算机科学相互关联的知识和从数学知识综合应用的角度解决现实问题（余胜泉，胡翔，2015）；教学层为数学插电非编程的计算思维模式，采取PBL+CT的教学，构建数学问题解决的教学流程；目标层是计算思维核心能力，以分解、抽象、算法思维、批判性思维、问题解决、协作学习六个思维能力为培养目标。在模型的表述中，PBL+CT是对PBL教学的改进，前一个CT表示计算思维的核心要素，后一个计算思维表示培养其核心能力。如图1所示。

（一）内容层：基于数学PISA的情境问题设计

教学内容是计算思维培养目标和教学开展的主要依据，包含主题选择、学习者分析、问题设计、重难点设计等。本研究依据数学PISA测评框架定义的问题情境，按照距离个体生活的远近划分为个人、职业、社会和科学四类（胡典顺，雷沛瑶，刘婷，2018）。其中个人情境问题围绕个体、学校、家庭之间的日常生活开展活动，例如：日程安排、购物、交通、旅行等，问题设计基于现实又高于现实，具有趣味性，形式表征具有生动性。职业情境问题关注工作状态与工作环境，例如统计测量、质量控制、调度与库存等，问题设计注重与实际职业能力的关联与应用。社会情境问题重点关注个体与社区的联系，例如人口统计、政府、公共政策等，问题设计注重开放性、发散性和多元性。科学情境问题关注自然科学相关的专题，例如气候变化、生态等，问题设计注重既有一定的抽象性，又需符合学生的认知水平。

（二）教学层：插电非编程的PBL+CT教学

教学层是计算思维培养的主要载体和途径，包括教学模式的选择、流程的构建和方法策略的选择等。插电非编程的教学模式是在数学学科中使用计算机进行的非编程教学实践，学习者基于丰富的数字化环境，使用数学学科工具、认知工具等，进行数据采集、统计分析、数学建模、可视化模拟等计算思维实践，从而深层次地理解计算机工具对现实问题解决的增强作用，体会到数学学习的实际应用价值。

数学问题解决研究中的代表人物波利亚，提出问题解决的教学流程为“理解问题、拟定计划、实现并检查求解计划、检验并反思求解过程”（Polya，1978，pp. 5−6），强调以问题为驱动，通过设计、反思方案来解决问题。PISA数学测评框架中的问题解决注重现实问题到数学问题的转化，通过概念、技能、步骤、工具等获得数学结论，进行学习反思，对问题解决方案转化的再解释等方面体现问题解决的思维过程（胡典顺等，2018）。本研究依据ISTE提出的计算思维操作定义，温特罗普等人的计算思维实践分类等文献，构建PBL+CT的教学流程，将PBL与计算思维的核心要素（如分解、抽象、数据采集、建模、算法、模拟、一般化等）进行有机融合，重组数学问题解决流程，帮助学生在实践过程中深入理解计算思维概念。流程分为五步：第一步，创设情境，理解问题。通过创设真实问题的情境，引导学生进入问题情境并理解问题。第二步，采集数据、建模抽象。学生在理解问题的基础上，运用已知和未知条件，通过数据建模，组织、分析数据，抽象符号。第三步，应用算法、协同推理。在理解算法的基础上，通过分步骤应用，综合各种已知的数据进行逻辑推理，思考步骤是否正确或者证明步骤的正确性，排除潜在的错误，实施解决方案，初步解决问题。第四步，工具模拟，优化方案。使用程序、工具进行模拟，调试参数和测试结果，从中选择问题解决的优化方案。第五步，迁移反思、问题解决。将问题解决方案迁移到类似的问题情境中进行重用，进行学习反思，最终建构问题解决的系统方案。在教学流程中，采取提问、协作学习、分步骤的支架、学习反思等教学策略，强调对问题的创设与理解，通过协作探究问题解决方案，注重借助支架进行的逻辑推理过程，增强技术工具对问题解决的作用以及学习反思对问题解决过程的回顾。

（三）目标层：计算思维核心能力培养

目标层表示学生计算思维所包含的高阶思维能力维度。本研究综合科尔克马兹等提出的计算思维核心技能及相关文献，结合数学学科特点，将计算思维分为分解、抽象、算法思维、批判性思维、问题解决、协作学习六大核心能力。其中，分解是将复杂问题，化繁为简地细分成小步子问题。抽象是比较和识别属性和关系，从特定对象或示例中提取要素并隐藏冗余信息，专注于理解和解决问题相关的概念。算法思维是使用规则为特定类型的问题或任务制定一系列问题的步骤，可以重复使用以解决类似问题，优化问题解决步骤直到呈现期望的结果。问题解决是实现计划方案，并将问题解决方案转移到其他情况或领域，以有效地、高效地解决类似问题。批判性思维是通过解释、分析和评估相关的证据、概念、方法以合理地判断与决策。协作学习是学习者从人际交互以及环境中实现交流与共享依赖，建立协同策略与机制，形成群体智能。

四、教学设计与实施——以小学数学“怎样围面积最大”课为例

（一）内容设计

1. 主题分析与问题设计

教学主题源于小学人教版数学教材三年级下册“周长与面积”单元的一道习题，在方格纸上作周长相等的长方形或正方形，比较它们的面积大小并寻找规律。湖北省武汉市A小学将这一内容改编成校本课程，设置探究的问题为“怎样围面积最大?”，适合三年级及以上学生开展数学综合实践活动。以“怎样围面积最大?”这一基本问题为教学起点，教师选用学生喜爱的动画片“马丁的早晨”创设情境动画，贴近学生生活，充满趣味性。课堂导入环节，创设“葛主任有16段1 M长的栅栏，他想围长方形或正方形的草莓地……怎样围面积最大?”的问题进行挑战。马丁、葛主任两位动画人物贯穿在教学过程中，以问题来组织、探究和反思学习活动。基于波利亚问题分解原则（Polya，1978，p.7），情境导入阶段的问题分解引导学生解读问题情境，将现实问题逐步转化为数学问题。通过教师提问，引导学生找出情境问题中的未知条件、限制条件和已知数据。

2. 学习者分析

教学对象为小学四年级学生。（1）思维发展阶段上，此年龄段的学生思维形式处于具体运算阶段，但逻辑思维能力、认知活动的目的性已经开始增强，尤其在抽象推理方面的能力开始得到快速进步。（2）先验知识掌握上，学生已经学会了如何计算长方形和正方形的周长和面积，但对于“数学推理”方面的接触比较少。针对本次教学内容，多数学生知道周长与面积是两个不同的概念，对于“怎样围面积最大”这一问题虽然知道在长方形、正方形范围内的结果，但对结果怎样得来却知之甚少，用变化的眼光思考问题的意识和能力还比较薄弱。（3）信息技术素养上，对于技术工具的掌握，他们具有多次在智慧教室学习的经历，熟悉平板等基本的技术操作，具有一定的技术使用经验。

3. 教学目标分析

知识与技能：通过探究、验证得出“周长相等的长（正）方形，长和宽的差越小，面积越大，正方形的面积最大”的结论，并进一步拓展至“周长相等的图形，圆的面积最大”的规律。

过程与方法：学生经历猜想、验证和归纳的实践活动，获得解决问题的方法与经验。用枚举法、不完全归纳法解决问题，体会有序思考、全面思考及数形结合的思想方法。

情感、态度与价值观：学生在解决问题的过程中，体会到数学在生活中的应用价值，对数学有好奇心和求知欲。学生在解决数学复杂问题过程中激发学习和探索数学的兴趣，培养善于协作和敢于质疑、自我反思的学习品质。

4. 教学重难点分析

本次课的教学重难点是在“给定周长”“任意周长”和“任意图形”的不同条件下，设计如何推导的思路、结果呈现、应用的算法及使用的工具，见表1所示。

表1 教学重难点内容分解

（二）教学设计与实施

“怎样围面积最大”案例的具体教学设计与实施见图2所示。

图2 “怎样围面积最大”数学课例的教学设计与实施

1. 创设情境，理解问题

教师针对三个重要的探究内容“给定周长值的长（正）方形”“任意周长值的长（正）方形”“任意周长值的图形”设计问题，见下表2所示。在长（正）方形范围内，根据给定周长值与任意周长值部分，通过数形结合进行探究，验证“怎样围面积最大”的问题。在任意图形范围，将图形扩展到更一般的图形范围，可视化验证规律。

表2 核心问题、设计意图与问题的内涵与价值

2. 采集数据，抽象建模

教师在课堂中适时引入“GeoGebra”数学APP，学生进行可视化操作，创设从直观形象到抽象建模的理解路径。“GeoGebra”APP的度量功能可以直接显示长（正）方形的周长和面积，不仅可以将学生思维过程直观地展示出来，而且帮助他们快速判断画出的图形是否符合要求，提高了数学验证的效率。小组两位学习同伴开展协作学习，在“GeoGebra”APP上讨论作图，并将产生的数据填入表格中，枚举所有满足条件的长（正）方形长、宽与面积的值，对数据进行建模，如下图3所示。

图3 “GeoGebra”APP图形采集

3. 应用算法，协同推理

学生根据教师提供的任务单开展小组协作活动，理解枚举算法，通过排序优化算法。教师引导学生对各小组上传的“GeoGebra”图形作品进行观察与评价，依据长或宽的值，对数据进行有序排列。学生观察在长方形的长和宽不断接近的过程中，面积的变化趋势，从而发现长与宽的差值规律，如下图4所示。

图4 “GeoGebra”APP小组作品呈现

在“任意周长”探究活动中，教师再次引导学生经历从特殊到一般的规律形成过程。每个小组通过选择任意的一个周长值来计算面积，学生迁移周长是16 M时的研究思路，将生成的数据填入任务探究单。为了使枚举在学生可推导的范围内，教师设置周长的取值范围不超过20 M，长宽的取值为整数。通过全班多个小组的不同周长取值进一步发现规律，将枚举算法扩展到不完全归纳算法。

4. 工具模拟，最优方案

在“任意周长”探究活动中，借助信息技术工具可以实现算法的模拟，如下图5所示的几何画板课件，只需要输入周长，就可以直接显示长和宽，动态呈现图形和面积的变化。通过计算机模拟，拓展了周长的取值范围，更全面地验证规律。在“任意图形”探究活动中，如下图6所示的教学课件：设置了“增加边数”和“减少边数”两个按钮，可以随意改变图形的边数，并可以任意输入周长值，显示对应的面积值，通过数形结合探究新的规律。

图5 几何画板课件：任意周长值的长（正）方形

图6 几何画板课件：任意周长值的图形

5. 迁移反思，问题解决

迁移应用过程分两个阶段。第一个阶段让学生自我回顾问题解决过程，迁移问题解决方案。以“怎样围面积最大”这一核心问题为导向设计练习题，难度由浅入深，分别考察学生直接运用规律进行问题求解的能力；考察用图示建模表示“相邻两边靠墙”的情况，掌握对问题进行分解与抽象的能力；将“一边靠墙”的情况分解为“长边靠墙或短边靠墙”两种情况，并用图示建模表示，掌握对问题进行深入分解与抽象的能力。通过逐层递进的练习，发展学生重用分解、建模、抽象、算法等计算思维概念进行问题解决。同时学生通过微视频学习，检验自己的学习成果，纠正在问题求解中的错误。第二阶段为学生集体回顾问题解决过程，教师通过板书“研究了什么?”，“怎样研究?”，“还想研究什么?”引导学生基于核心问题进行反思，聚焦问题解决的目标、过程与结果，全面回顾整个学习过程。

五、实验研究设计及教学效果分析

（一）问卷设计及研究过程

本研究问卷基于科尔克马兹等人（2017）的计算思维量表进行改编，围绕理论框架中计算思维的六个维度设计题项，采用李克特5分量表计分。为了确保问卷评测的信效度，研究者邀请了有关专家对问卷的适当性和科学性进行了评价。通过SPSS进行项目分析，计算各个题目的CR值，所选题项的CR（T）值都呈显著性差异（P<0.05），具有显著的区分度。对问卷的信度进行测试，得到整体问卷的克朗巴哈系数的值为0.94，其中分解维度0.71、抽象维度0.71、算法思维维度0.75、批判性思维维度0.70、问题解决维度0.79、协作学习维度0.86，问卷总体具有良好的信度。

本研究为准实验研究法，研究过程具体为：课程学习前组织学生填写计算思维前测问卷，实验对象为小学四年级某班随机选择的36位学生。研究团队与教师对教学设计进行研讨、改进，制作教学资源。课程学习分预备教学和正式教学。预备教学为30分钟，教师使用问卷星平台设计测验题，帮助学生复习周长与面积的先前知识。熟悉“GeoGebra”数学APP，掌握网格图的设置、制作图形、调整图形、标记周长和面积、删除图形、移动图形等相关的技术操作。正式教学实施时间为50分钟。学生在教学结束后填写计算思维后测问卷和自评表，并进行随机访谈。

（二）实验结果分析

采用纸质形式发放与回收问卷，32人参与问卷测试，前后测配对的学生共28人，其中男生15人，女生13人。经非参两相关样本Wilcoxon检验，小学生在分解、抽象、算法思维、批判性思维、问题解决和协作学习六个维度上的后测均值均高于前测均值，尤其是在分解、算法思维和协作学习三个维度上有显著的提升，如表3所示。

表3 计算思维维度前后测比较

计算思维整体维度（M前测=4.05，M后测=4.31，Z=−3.12，p=0.002<0.01），前后测差异显著。学生对探究问题和规律理解的完整性、准确性上整体表现较好。访谈中学生能清晰地用自己的话表达一个或两个规律，并能系统说出问题解决的思维方法与过程。学生在课程中学习的认可度高，自评显示学生“在本次课中学的开心的程度达到中等及以上的比例为97.3%”，说明学生在学习中持有较高的学习动机，具有积极的问题解决态度。科斯塔等人（2017）通过研究表明通过将计算思维和数学结合在一起的教学实践，可以对学生解决问题的能力产生积极影响。同时，在数学问题解决中体现计算思维视角的活动也可以提升学生对数学的理解能力（Sung，Ahn，& Black，2017）。

分解维度（M前测=4.03，M后测=4.36，Z=−2.62，p=0.009<0.01），前后测差异显著。结合学生自评，“100%的学生遇到问题时能运用合理的方法解决问题”“91.89%的学生能尝试从不同角度思考问题”。算法思维维度（M前测=4.11，M后测=4.35，Z=−2.04，p=0.042<0.05），前后测差异显著。通过小组枚举算法作品分析，并借助几何画板扩展取值范围，在整个对算法的不断纠正与深入中提升了思维的准确性。

协作学习维度（M前测=3.88，M后测=4.44，Z=−3.64，p=0.000<0.001），前后测差异显著。本次实验采取了多样化的协作学习策略，学生进行了高质量的互动与活动，因此学生在与他人协作进行问题解决的态度倾向上表现显著。通过学生之间协作学习的互动实践，促进更多思想的交流与分享。在男女性别上，前后测差异均不显著。前测整体维度的差异（ M 男生=4.07，M 女生=4.02，Z=−0.25，p=0.800 >0.05），后测整体维度的差异（M 男生=4.24，M 女生=4.40， Z=−0.67，p=0.504 > 0.05），在具体的分维度上，性别也均未体现显著差异，说明性别影响因素较小。

六、总结与思考

（一）理论模型验证了小学数学学科培养学生计算思维的有效性

本研究构建的小学数学PBL+CT教学培养学生计算思维的理论模型，通过内容设计到教学最后直达学生思维的培养，三层之间紧密相联，层层递进，通过外在的教学干预，促进学生的思维转化为高阶技能。其中，教学内容包含主题选择、学习者分析、问题设计、重难点设计等，所选主题能准确定位数学与计算思维的融合，体现教学内容和计算思维能力培养目标的明确联系。它能突破传统教学的局限，既有效达成学科教学规定的目标，又能够体现培养学生的计算思维。

教学层包括教学模式的选择、流程的构建和方法策略的选择等。随着国内中小学智慧教室环境建设的不断发展，有利于创设学生使用计算机技术的沉浸式数字化环境。学习者通过对工具、环境的探索与互动，增强利用技术对数学问题解决的理解。通过在教学流程中融入计算思维的核心要素，在实践中提升理解计算思维的概念。对于方法和策略的选择，对应计算思维的高阶思维技能，聚焦问题情境，灵活应用师生对话、任务单支架、学习反思、计算工具来支持和引导学生对问题的分解、抽象和批判性思维的发展；通过不同层次的协作学习策略，培养学生自主探究和协作学习能力；通过提供明确的教学流程和支架策略，培养学生步骤化解决问题的算法思维能力；以及通过增强CT核心要素的问题解决流程，培养学生利用计算机科学思想、方法与技术来解决数学问题的能力。

思维层是教学的目标，围绕理论模型进行具体案例的教学设计与实施，并对其应用效果进行验证。基于课堂观察、问卷、访谈和自评表单等多种研究方法和工具，多维度地验证理论模型促进小学生计算思维培养的有效性。实证研究验证该模型能显著地促进小学生整体计算思维的培养，尤其是在分解、算法思维、协作学习上具有显著的促进作用。

（二）通过问题驱动的教学策略，促进学生分解、抽象和批判性思维的发展

PBL+CT教学以问题来设计、架构和引领教学，从注重知识的传授到注重思维的训练与培养，这也是计算思维培养学生问题解决所要经历的基本过程，彰显了思维教学的动态性、生成性。在问题的设计中，教师依据PISA能力测验的现实问题情境的分类设计，注重问题的劣构性、开放性和探究性。在教学过程中，学生通过教师提出的核心问题进行学习、思考、对话和表达，教师则积极关注学生在课堂上思维外化的过程，不断追问，通过层层递进的问题，启发学生进行高质量的对话，动态生成资源，使课堂教学成为不断制造学生认知矛盾与冲突、不断帮助学生对知识进行同化、顺应的场所，有效促进学生对问题的分解、抽象和批判性思维的发展。问题导向的评价综合了学生的自我评价、学生互相评价和教师评价，体现了多元化评价，彰显了学生主体性的教育理念。张蕾提出的计算思维WPBL模式，重视将问题情境作为模型的核心要素（张蕾，2014）。

在“怎样围面积最大”的课例教学中，在问题提出阶段，创设动画情境激发学生的学习动机与任务挑战，逐步分解问题并提取问题中的有价值的信息，实现现实生活问题到数学问题的转化。在分析论证阶段，通过“给定周长值为16 M的长（正）方形”“任意周长值的长（正）方形”和“任意周长值的图形”三个不同内容，引导学生从不同的角度思考、探究规律。在问题迁移阶段，围绕“怎样围面积最大”这一核心问题，由易到难进行问题解决的迁移。在问题解决阶段，引导学生集体反思学习过程，巩固探究问题解决的方式路径，进一步提升思维品质。

（三）采取分步骤的支架教学策略，促进学生算法思维的发展

PBL+CT注重分步骤教学，将数学课堂蕴含的逻辑推理、数学运算等方法与过程充分展现出来，使学生经历从论点提出、论据搜集、合理论证到得到结论，帮助学生掌握数学逻辑推理的科学研究方法。“怎样围面积最大”是一个灵活性较强的数学问题，在长（正）方形范围和一般图形的范围具有不同的规律，对规律由浅入深地进行探究，可提升学生的认知范围与深度。教学中根据不同的重点，采取分解教学策略，细化任务，帮助学生逐步习得思维过程。在计划阶段，根据周长值寻找面积求解的知识“原点”，即利用周长回溯边长来计算面积的不同组合。在探究阶段，任务单活动设计用简洁的动词概括，如“想一想”，“画一画”，“比一比”，提供具体、明确的探究任务。通过数据表格分解长、宽、面积的数据变量，以直观的形式组织、分析变量。通过数学工具可视化操作和数形结合观察等一系列的分解活动，将静态的知识动态化，抽象的知识具体化，帮助学生逐步抽象规律，建立认知模式，经历从枚举法到不完全归纳法的思维归纳过程。因此，教学中学生“对数学运算感兴趣”，“能用清楚、简洁的方式记录思维过程”，“善于用图表方式解决问题”，“分步骤解决问题”等都得到了提升，有效发展了学生的算法思维能力。

（四）注重协作和反思策略，促进学生协作学习和批判性思维的发展

科索普洛斯等人（2017）认为计算思维以建构主义和社会建构主义为理论基础，学习环境与策略的构建以强化人际交流、对话与反思，促进数学表达这一核心素养的发展。充分运用小组协作方法，让学生体验到不断尝试、不断质疑。通过在过程中加强不断反思的体验，有学者在总结计算思维的有效策略时，强调了学习反思策略的重要性，鼓励学生对自己的学习表现进行不断审视（Lye et al.，2014）。“怎样围面积最大”课例中教师根据不同的任务，采取通过小组两位和四位学习同伴开展不同的有针对性的协作策略，促进交流互动，聚合群体智慧。如在推导思路阶段，通过大组四位学习同伴的交流，分享问题解决的计划方案。在问题求解阶段，教师提供任务明确、操作性强的学习支架，在小组两位学习同伴中开展协作学习。在作品分享阶段，则又通过大组四位学习同伴的交流，讨论有序思维的重要性及长宽的变化规律等。问题解决的小结阶段，通过学习反思促进学生对习得的思维方法进行自我的、集体的表达，深化对问题解决的理解，促进认知的深层次发展。

（五）创设PBL+CT的教学流程，促进学生问题解决能力的提升

在培养计算思维的过程中，学生不容易理解如抽象、分解等的计算思维概念，因此，教师需要在教学活动中将这些概念分解为具体的，可理解的和可操作的计算思维实践。在本案例中，学生通过操作数学APP，对数据进行图示建模，协作推理等，理解枚举、不完全归纳算法的执行步骤和适用范围。例如，在枚举算法中，不仅要列出所有符合条件的数对，还需对数据进行有序排列。在体验算法的基础上，又借助数学工具进行算法模拟，一方面借助计算工具，将学生难以用手动计算的逻辑推导自动化、可视化，同时也使学生掌握计算机执行算法过程中背后蕴含的数学原理。学生借助计算工具进行数字化探索，形成对待技术世界的计算观念，发展技术素养（Brennan & Resnick，2012；Lye et al.，2014）。在传统教学中进行的“怎样围面积最大”的数学教学活动中，学生主要通过枚举法、不完全归纳法进行数学规律的探索，认知范围局限在长（正）方形范围内。此次教学实验通过计算工具实现对数据的采集、组织、分析和模拟，探索的环境能够帮助学生运用技术手段形成、理解与验证问题的解决方案，大大扩展了四年级学生的认知范围。同时计算工具又是思维理解的工具，具体与抽象相结合，让思维过程可视化，数学规律直观化，促进思维的深层次加工。数学工具给问题解决带来了诸多优势，如趣味性、便捷性、做中学、高效性等。访谈中学生认为数学APP“好玩”，“玩中学”，“为学习提供了便利”，“激发了学习兴趣”，“利用技术节约了纸质本子”等。此外，教师还借助互动课堂、问卷星等技术媒介，让课堂互动、评价更及时、更全面。

本研究是笔者研究团队在数学学科中培养小学生计算思维的一次有益探索，由于受研究对象、研究条件等因素的限制，研究还不够完善。在今后的研究中，还需在数学学科中进行长期、深入的应用和效果评测。