关于高中数学探索型问题的教学探究

张金标

摘 要：随着新课标的推进，高中数学教学在不断的改革创新。本人从近几年高考数学中出现较频繁的题型问题出发，着重探讨高中数学探索型问题的思维模式，探索提高高中数学教学质量，培养高中学生的数学思维能力的教学模式。

关键词：高中数学;探索;教学

近年来，探索型问题不断地出现在高考中，这是由于这类问题，不但是对已学的知识进行一次更深层次的理解和熟记，而且对学生各种能力的提高有着十分积极的意义。中学数学探索型问题常见有以下两类：

一、创新型

这类题型由于新颖，学生平时很或没有接触，考查学生临场的分析问题与解决问题的能力。所谓创新是指背景新颖，或情景新颖，或给出方式新颖，在常见中有新意，对基础知识和基本方法的应用上却有深度，必须进行深入的分析探索，才能找到解题途径。

例1、设数列{an}的前n项和为Sn，令称Tn为数列a1，a2，…，an的“和谐数”，已知数列a1，a2，…，a2021的“和谐数”为2022，那么数列1，a1，a2，…，a2021的“和谐数”为       。

分析：题目中涉及的一个数列的“理想数”是该数列前n项和构成的新数列{Sn}中前n个数的算术平均值.注意到所求“和諧数”的生成数列比已知“和谐数”的生成数列多了一项，因此，只要找出所求“和谐数”与已知“和谐数”的关系，问题即可获解。

解：设An=S1+S2+…+Sn，从而A2021=2021×2022。

所以：

。

小结：此题自主定义了一个数列的“和谐数”，着重考查了对“和谐数”的认识和理解.我们根据“和谐数”的定义，利用整体思想，架设了未知和已知之间的桥梁，为快速求解问题奠定了基础。

二、开放型

这类题型没有给出具体结论，需要学生理解题意，通过观察、比较、分析、推理、判断等系列探究活动，从而确定需要的结论，且还需要论证结论的正确性，所以解法无常规可循，必须充分运用综合的数学能力。

例2.已知数列{an}是首项a1=1，公比q=0.75的等比数列，Sn为数列{an}的前n项和。

（1）用Sn表示Sn+1;（2）是否存在正整数b和m，使得成立？若存在，求出b和m;若不存在，说明理由。

解：（1）由Sn=4[1-（0.75）n]，得：Sn+1=4[1-（0.75）n+1]=0.75Sn+1。

（2）为了探求正整数b和m的存在性，我们可以执果索因，使用分析法。

要使，只需.因为，所以，故只需.（A）

根据（A）可以看出，原命题可转化为：是否存在正整数m，使得在1.25Sm-1和Sm之间存在一个正整数b？

所以，我们需考察1.25Sm-1与Sm的表达式.注意到：1.25Sm-1=4-5·（0.75）m，Sm=4[1-（0.75）n]。

所以，当m≥6时，1.25Sm-1>3，Sm<4，不存在正整数b满足条件;故只需考虑m=1～5的情形。

经验证可得：存在正整数m=3，b=2或m=5，b=3时满足条件。

通过以上几个案例的分析，我们可以看到探索型问题对于培养高中学生的数学思维能力具有重要作用。那么，作为高中数学一线老师，在教学中该如何指导学生解答探索型问题？如何通过探索型问题的教学来不断培养高中学生的数学思维能力？多年的教学实践，给我感触最深的是以下两点：

（一）教学时，多进行一题多解的训练，培养学生思维的多向性

人只有在实践中感到有问题，感到有解决问题的必要，才会开动脑筋积极地进行思考。教师要引导学生思考问题要多角度、多层次地进行思考。解题时，不能只满足于一种解法，教师应多鼓励学生多角度思考，寻求其他解法。

例3.已知奇函数，c>0，a是正整数），f（1）>0.4，且f（x）有最大值0.5。

（1）求函数f（x）的解析式;（2）是否存在过点P（1，0）的直线L与函数y=f（x）的图象只交于M、N两点，且M、N两点的中点恰为点P，若存在，求直线L的方程;若不存在，说明理由。

解析：（1）由f（x）为奇函数可得：b=0.又因为c>0，a是正整数，当x<0时，f（x）<0;当x>0时，f（x）>0.因此，f（x）的最大值0.5一定在x>0时取得。

当x>0时，，等号当且仅当c·x2=1时取得。

所以，.又，所以，.结合c>0，a是正整数，可得：a=c=1.所以，。

（2）对于“是否存在型”的问题，通法为：假设存在，根据题意推出矛盾，或者从某些结论出发，推出其存在的必要条件，再论证是否充分。

解法一：假设存在满足条件的直线L，设M（x0，y0），因M、N两点的中点为（1，0），则N（2-x0，-y0）.又M、N两点都在函数的图像上。

代入列方程组，消去y0，解得：x0=1±√2.所以

所以，直线L的方程为：x-4y-1=0.L的存在性还要论证其充分性。

把x=4y+1函数方程，易求得除上面的M、N对应的解外的另一解（-1，-0.5），共三组解。

这样直线L与函数y=f（x）的图象共有三个交点，这与题意“只交于两点”矛盾.所以满足条件的直线L不存在。

以上解法的过程中，没有应用函数f（x）的奇函数性质，若利用奇函数条件，可把问题等价转化为：是否存在直线l：y=b，使得l与y=f（x）有两个距离为2的交点.这样得到其他不同的探究过程。

如果根据“只交于M、N两点”的结论，这里可以采用以下较方便的解法。

解法二：若直线L的斜率不存在时，则L：x=1，易求得L与函数f（x）的圖像只交于一点，不满足题意;因直线L过（1，0）点，所以设其方程为：y=k（x-1），代入函数方程，消去y整理得：kx3-kx2+（k-1）x-k=0（A）

对于方程（A），当k=0，则方程仅有一解，不合题意。

当k≠0，则方程（A）的实根个数可能为1个或3个，不可能有2个，所以满足条件的直线L不存在。

点评：敏锐的观察力，丰富的想象力，是解答探索型问题的法宝。

（二）教学时，多进行一题多变的训练，培养学生思维的广阔性

“一题多变”是指在一道问题得以解答，学生的求知欲得到暂时的满足时，我们老师再在原题的基础上对题目的某条件或结论加以适当的改造，使上面的解答方法不能用，引导学生发现并提出新问题，摆脱思维定式的影响，进行类比、联想。前段时间在网上看到一位老师给出如下例题和处理教学。

例4、已知非负实数a、b、c不全相等，证明：

证明：

左边=

在引导学生给出上述证明之后，可提出：若把改成比它较大的数，那又该如何证明呢？教学时，不妨让学生思考一会儿，或许很多同学会模仿上述证法，但不能如愿，此时教师可引导学生作如下思考：式子可看成一个平方和的算术根，那么容易想到基本不等式来证明。

证明：

左边=

又>，∴不等式成立。

正在学生高兴地松一口气之时，不妨又把结论中的改成比它较大的数，那么由于，上述证法又失效。这时不妨引导学生联想与哪个知识相近。可发现“当a，b为正实数时，可视为两条边长为a、b且夹角为120°的三角形的第三条边的长度”，从而可转化为三角形问题来解。

证明：（1）若有一个等于零，易证不等式成立。

（2）若a、b、c为正实数时，构造△ABO，其中，设|OA|=a，|OB|=b，|OC|=c，∠AOB=∠BOC=∠COA=120°，

这样，，，

在△ABO中，由正弦定理：

∵∠ABO+∠BAO=60°

∴sin∠ABO+sin∠BAO=2sin30°·cos（∠ABO-∠BAO）/2≤1

，同理：

|AB|+|BC|+|CA|≥√3（|OA|+|OB|+|OC|）（当且仅当|OA|=|OB|=|OC|时成立）又a，b，c不全相等，所以不等式成立。

本例中，通过不断地改变结论，引导学生思考，大大地提高学生解题思维的广阔性。若教师在平时的教学中，适当地多进行变式的训练，我想学生的思维能力将得到全面发展。那么，对学生解决探索型问题时，必将取得事半功倍的效果。

结束语

高中数学的探索型问题应力求在基础中求深度，于寻常中创新意，要让学生处于似曾相识的新情境中，乍看陌生，细想成竹在胸。

参考文献

[1].马忠林《数学学习论》广西教育出版社1999年3月