“三招”筑牢归总问题的小学数学模型

钟建萍

【摘要】上新课时学生都学得不错，过后准确率却断崖式下跌，有些学生列式正确但不会画线段图，有些学生线段图画对了但列式是错误的，甚至出现了不少乱凑算式的现象。教学中，应关注数量关系的理解，通过数形结合的方法帮助学生掌握好题型的特征。同时，在练习中应重视有效的对比分析，筑牢“归总”问题的解题模型。

【关键词】数学关系;数形结合;对比分析;数学模型

在教学“归总问题”之后，很多教师和学生都有很疑惑，上新课时大家都学得不错，即使不采用图示法也能解决问题，而且从练习情况来看准确率比较高。但在综合性练习或测试中，准确率却断崖式下跌，有些学生列式正确但不会画线段图，有些学生线段图画对了但列式是错误的，甚至出现了不少乱凑算式的现象。

笔者通过调查访谈发现，主要原因是教师过分重视解题模型的教学，忽略了对数量之间的关系的深入分析。教学中，应关注数量关系的理解，通过数形结合的方法帮助学生掌握好题型的特征。同时，在练习中应重视有效的对比分析，筑牢“归总”问题的解题模型。

一、抓住问题，分析数量关系

分析数量关系的方法通常有综合法和分析法两种，在低年级时，已知信息较少，很少出现信息混淆乱用的问题，解决问题基本上采用综合法为主。归总问题和归一问题一样，至少有三个以上的信息，且有相同意义的信息，三年级的学生较难把握它们之间的联系。因此，分析法的引入和应用成为了一大必要，同时，紧紧抓住所求的问题，很容易能把握中间问题就是“总数量”，这对于学生把握题型特征也有很大的帮助。

在用分析法梳理解题思路时，可以绘制简单的“思路图”，先确定要“解决的问题是什么”，根据经验把握“需要哪两个条件”，判断哪个条件是已知的，哪个条件是未知的，这个未知的条件就是要解决的中间问题，找到已知条件解决了中间问题就能解决最终的问题。

中低年级要解决的教学问题，很多教师会忽略学生分析数量关系能力的培养，这会导致当问题变得复杂的时候，学生无从下手。抓住所求问题，分析数量关系、表达数量关系应该是这节课首先要关注的问题。

二、数形结合，帮助理解题意

在学习“归总”问题时，不少学生都觉得画图多此一举，这种论断完成违背了编者对本道题的设计意图，也没有考虑课标对学生能力培养的要求。归总问题的学习不仅是两步问题数量关系建立和学习方法形成的关键，而且是画图意识和画图能力培养的关键。所以，这一节课的教学离不开图示这一几何直观手段的应用。

在前一节课的归一问题中，教材主要采用实物图来帮助理解题意，本节课学生很容易会延续上一节课的思维，用一个圈代替一个碗，画6个圈表示6个碗，这样的表示形象、清楚、明了，但是，学生发现接下来不会画了，不知道怎么来表示最终的问题，教师想要引入的线段图教学也较难实现。如果采用分析法，从问题出发，结合本题的数量关系来画线段图则会更加顺畅。不管用哪种方法分析题意，都要加强画图能力的指导，坚持数形结合的原则，帮助学生厘清“画什么”“怎么画”两个问题。

例9中要解决问题，一定要先知道“一共有多少钱”， 这里引导学生任意画一条线段来表示总的钱数，再根据题意以数解形，学生很顺利能画出第一条线段图。接下来，根据关键词“用这些钱买……”让学生明白“总的钱数”没有变，还是用同样长的线段表示，但每个碗的价钱由“6元”变成“9元”则要用稍微长一些的线段来表示，数感好的学生甚至知道要比原来的长一半才准确。画图时，学生可能会在原线段图上接着画，此时应当给予学生适当的指导和提示：为了更清楚地表示它们的数量关系，可以另画一条“同样长”的线段来表示“总的钱数”，并在这条新线段上来表示新的购买方法和问题。

在学生的作业中，线段图和算式脱节的现象还是比较严重，归根结底是学生对题目的理解不够到位。杜绝这种现象的做法还是在课堂教学中的关注，学生解答后一定要引导学生思考、反思：怎样从图中判断答案4是正确的呢？将学生的关注点再次引向线段图：一方面，可以比较总数量，4个9和6个6的总数都是36，与题目中“用这些钱”意义一致;另一方面，可以比较每份数，“9”比“6”大，每一份需要画得长一点;最后，还可以适当渗透函数思想：当总量相同时，每份数越多，份数就越少，计算的结果是“4”比“6”小也正符合这一要求。这样进行检查回顾，沟通图文之间的联系帮助理解题意、验证了解答的正确性，也为反比例函数思想的渗透埋下伏笔。

三、对比分析，建立解题模型

从前面的分析中，我们已经知道，脱离了对题意的理解，死记硬背的解题模型是没有意义的，即使学生已记住解题的方法，但题型特征没有真正掌握，遇到时识别不了，应用也无从谈起。如果说数形结合帮助理解题意、分析数量关系，是建立数学模型的基础的话，对比分析就是强化模型的关键。具体可以从以下几个方面进行：

1.数量大小之间的对比

例题中的数据比较小，学生容易理解数量关系，画线段图也容易，从而会让学生觉得已完全掌握了归总问题的数学模型的印象，在练习中，我们可以改变数量的大小测试一下他们如下题：

李阿姨去商店买奶粉，如果买288元一瓶的奶粉，她带的钱正好够买6瓶。如果用这些钱买432元一瓶的奶粉，可以买几瓶？（列综合算式，不计算）

让学生读题后独立思考会不会解答，并特别强调只需要列算式，不需要计算。如果学生不去分析数量关系，看到数据就有不少学生放弃了这道题的解答。教师可以让会做的学生说说自己的想法和做法，但不急于判断，而是再次出示例9，让他们对比一下，再说说想法。通过对比，让学生会发现，第一题数量较大，感觉很复杂，但两道题的情境和数量关系特点都是相同的：都是要先求出总数，而且，两次购物的“总钱数”也都是相同，再尝试画一画线段图，学生会惊奇地发现，线段图是完全一样的，所以，解题方法也一样，都是先求出总数，再求份数。题目的难易关键不在于数量的大小，而在于有没有厘清数量之间的关系，以后，还会遇到更大的数量，甚至是小数、分数，只要抓住数量之间的关系，掌握好数学模型， 就能應用相关的模型顺利解题。

2.“归一”“归总”问题的对比

前面说过，根据调查，很多学生初学新课时学得不错，过段时间就忘记了，归总问题如此，归一问题也是如此。那么，把归一问题和归总问题两道题放在一起，又会怎样呢？如下面两题：

（1）为民招待所新来一批客人，每间房住4人，需要20间房。如果每间房住2人，需要几间房？

（2）为民招待还有8间房，最多能住进32个人。照这样算，如果有24人，需要几间房？

这两道题情境相同、问题相同，数据也很有迷惑性，對掌握不好的学生来说有一定的难度，如果没有读懂其中的数量关系，就没有办法应用解题模型进行正确解答。教学中要引导他们对比分析，理解各个数量的含义，问题虽然相同，但是第一题知道总人数才能解决问题，所以是归总问题;而第二题要知道每间房能住的人数，所以要先求每份数，属于归一问题。通过比较，让学生们知道不能只看数据简单的凑算式，一定要从问题出发，找到中间问题，才能最终解决问题。

3.图文之间的对比和联系

教学时要注重数形结合，题目中“用同样多的钱”在线段图中表现为两条同样长度的线段。问题实际上就是求有“几个9”，解题的关键是先算出总数是多少，即先算“6个6”是多少，要引导学生从文到图，再从图到文，图文结合来理解题题。新授课后还可以在练习中出示归总问题的线段图让学生用语言表达图意，进一步沟通图文之间的联系，能将图变成文字，也能把文字转化成线段图，并能从图文中发现数学模型的特点——已知每份数求份数需要先求出总数。

4.不同情境的对比分析

研究表明，由于小学生的年龄特征和认知特征使得他们对不同的情境的理解有一定的障碍，如，常见的生活情境类的题目学生的理解会比较到位，而比较抽象的情境，学生的理解会比较困难，但我们的数学教学要与生活联系起来，要承载更多的生活元素，就可能会出现很多不同情境的问题，如购物问题、时间问题、行程问题、排队问题或其它的情境，如何通过不同的情境来把握归总问题的数学模型呢，可以这样设置题目：

（1）同学们排队做操，如果每排12人，刚好可以站3排。如果每排9人，能站几排？

（2）王叔叔要做一批零件，如果每小时做12个，3小时可以做完。如果每小时做9个，几小时能做完？

（3）工人要修一条路，每天修12米，3天修完。如果每天修9米，几天可以修完？

（4）面粉厂运一批面粉，原计划每次运12袋，3次可以运完。实际每次运9贷，几次可以运完？

以上几道题都是情境不同但是数据相同的归总问题，让学生尝试用线段图将图意表示出来，他们会惊奇地发现，情境虽然不同，但线段图完全相同，解答方法也相同，由此让学生感知图形结合的重要性，情境变了，但问题不变，都是求“份数”，数量关系也不变，四道题都是要先用乘法求出“总数”，再根据“总数÷份数=每份数”，从而更好地巩固归总问题先求总数的数学思路。

数学模型固然好用，它有化繁为简的魔力。但是，过度重视数学模型、解题模型套路化限制了学生思维的发展。当解题特征不明显时，“套路”就失去了作用。解决问题的教学要关注数形结合，加强画图方法的指导、读图能力的培养，在帮助学生构建数学模型的同时培养几何直观能力。

参考文献：

[1]林吟艳.数形相依，绽放思维之花[J].数学大世界（中旬版），2019（12）.

[2]谢扬琴.小学数学图示教学的实践研究[J].速读（中旬），2017（2）.

责任编辑  温铁雄