“创课导学”教学法在数学建模课中的应用

陈嘉颖 余莉

数学建模是高中数学六大核心素养之一，其意义在于利用数学语言、数学符号、数学式子等对现实问题进行抽象刻画，构建数学模型以解决实际问题.数学建模课是以培育学生数学建模核心素养为目标的课型，当前这一课型越来越受到教师们的重视.不少学生对数学建模表现出浓厚兴趣，但也有部分学生不知如何运用建模思维解决实际问题，教学中仍然存在着“教师出题，学生解题”的刻板化教学行为.

“创课导学”教学法借助“e-数学实验室”平台，创设了“问题导向、实验导学、目标解惑”的教学路径，能够有效突破这一教学困境.这一教学法使学生从知识的被动接受者转变为主动获取者，转变为基于“创课导学”的小组合作学习者，转变为基于重点问题展开的教学活动的积极参与者，充分体现了学生的学习主体地位，激活了学生的数学思维.

本文将以“线性相关与回归分析”教学为例，根据数学建模课的“创课导学”策略（如图1），讲解如何运用“创课导学”教学法设计与实施数学建模课.

一、基于学情的教学内容及教学目标分析

“线性相关与回归分析”是历年高考数学试题中的热门考点.本课教学内容安排在人教A版高中数学必修3 “2.3.1 變量间的相关关系”之后，为选修2—3第三章“回归分析的基本思想及其初步应用”的第二课时.本课教学的重点是引导学生利用已经学过的散点图、相关系数、直线回归方程等知识进行回归分析，培养数学建模意识与能力.

课前，学生已系统学习了收集、整理、描述和分析等数据处理方法，以及回归分析的基本思想.本课将进一步引导学生认识现实中存在的不能用函数模型描述的变量，然后通过体会样本、探究变量间的相关关系等获取线性回归方程，描述、刻画随机现象.这是一种用样本估计总体的数学思想，是一个数学建模的过程，能够有效发展学生的建模素养，培养学生运用线性回归方程解决问题的意识，提升运用数学知识解决实际问题的能力.

根据学情和本课授课意图，我们设计了如下学习目标：①通过随机现象实例理解生活中存在的变量的相关关系，并能判别两个变量是否存在相关关系;②通过探究两个变量的线性回归方程，体会最小二乘法的思想，发展数学建模素养;③利用信息技术求出两个变量的线性回归方程，利用所得线性回归方程进行估计和预测，发展数据分析素养.

目标①是目标②、目标③的基础.设计目标①的目的，是将随机现象与变量的相关关系结合起来，让学生在认知随机现象的过程中体会变量的相关关系.教学中，教师不仅要给学生提供或引导学生寻找理解变量的相关关系的实例，还要创造合适时机让学生自主辨别变量的相关关系，进而理解“变量间的关系并不都是确定的函数关系，更多情况下是相关关系”这一知识点.

在学生达成目标①的基础上，我们设计了目标②，进一步引导学生利用线性回归方程近似刻画变量的相关关系.教学中，教师可利用信息技术，帮助学生从图象中直观认识“从整体上看，当各点与此直线的距离最小时，用直线方程能最好地表示两个变量的相关关系”，从而较深入地理解最小二乘法思想.

目标③的设计是为了提高学生运用线性回归方程进行估计与预测的能力，让学生进一步体会“用样本估计总体”的思想和数学建模的过程.教学时，教师需要借助信息技术工具，引导学生利用从具体实例中得到的样本数据建立线性回归方程，然后用线性回归方程进行估计、预测.

这三个目标的设计，充分体现了“创课导学”教学法的三大策略：设计有层级、有梯度的问题，以问题为线索推进课堂教学，体现“问题导向”;通过随机现象的引入，激发学生主动探究、动手实操的积极性，让学生在实验过程中学习和理解知识，体现“实验导学”;通过设计符合学生学情的梯度目标，让学生在达成目标的过程中逐步解决心中疑惑，体现“目标解惑”.

根据这三个目标，我们应用“创课导学”教学法展开了“线性相关与回归分析”数学建模课教学.

二、教学实施过程

（一）问题导向：从实际情境中发现问题，从数学角度提出问题

数学建模课的宗旨，是让学生学会用数学的知识、思想方法和思维方式建立数学模型，从数学的角度解决有意义的现实问题.因此，数学建模所面对的问题，应该是真实、具体且能激发学生研究兴趣的现实问题.这正是“创课导学”教学法所倡导的，从现实生活中挖掘教学素材、发现问题，然后根据素材设计教学问题、创设情境，引导学生观察、分析、思考并解决相关问题的“问题导向”.

2020年，新冠肺炎疫情来袭，社会正常生活受到很大影响.从这场疫情中，我们发现了蕴藏其中的数学教学资源，并据此设计了“线性相关与回归分析”一课的教学.

师：2020年春节前夕，一场突如其来的新冠肺炎疫情打乱了我们的生活节奏.在党和国家的领导下，全国人民齐心协力，社会生活秩序逐渐恢复正常，新冠肺炎疫情防控工作从应急状态转为常态化.在常态化抗疫阶段，我们应该怎样进行自我防护呢？

生：戴口罩，勤洗手，少聚集，保持安全社交距离.

师：仅仅做到这些还不够，新冠肺炎疫情在全球范围内的流行还没有结束.为了巩固这来之不易的抗疫成果，最有效的办法是什么？

生：接种新冠疫苗.

师：对的，通过科学有序地接种新冠疫苗，逐步建立人群免疫屏障，才能阻断新冠肺炎的继续传播.关于我国的新冠疫苗接种的问题，大家最关心的是什么？

生1：我国新冠疫苗接种的总体情况是怎样的？

生2：接种剂数呈现什么样的变化趋势？

生3：我国疫苗接种剂数什么时候能达到10亿？

师：看来同学们的关注点都很有现实意义.我们要怎样用学过的数学知识和方法来解决大家刚才提出的问题呢？

生：需要收集相关的数据，比如现在全国接种疫苗的剂数.

师：只需要知道今天接种疫苗的剂数就够了吗？

生：不够，需要知道一段连续时间内每一天的接种剂数，然后求出一个函数解析式.

师：你的想法非常好，可以试一试.老师想提醒大家的是，数据来源一定要科学准确、具有权威性.（师组织学生登录国家卫生健康委员会官网，收集最近75天新冠疫苗接种剂数的数据，输入Excel表格.）

将现实问题转换成数学问题，是进行数学建模的第一步.教师选择当前社会热点新闻作为教学的切入点，贴近学生实际生活，容易引发共鸣.教学中，教师创设基于现实生活的实验情境，引导学生从数学角度提出新的问题，指导学生收集资料、整理数据，在解决问题过程中感受数学建模的意义和学习的乐趣，正是“创课导学”教学法之“问题导向”的意义所在.

（二）实验导学：用变量思想确定参数，用建模思维模拟实验

用贴近生活实际的问题，为学生创设生动的学习情境，较好地完成了课堂导入环节，并且让学生形成了问题意识，为在下一个教学阶段中有效引导学生进行数学建模打下了基础.

师：观察Excel表格中的数据，你能了解我国新冠疫苗接种的总体情况吗？

生：数据太多，只看得出接种剂数每天都在增加，应该是累计接种剂数随着累计接种天数的增加而递增.

师：你说得非常棒，老师觉得你已经对这个规律性有了猜想.具体是什么呢？请你大胆说出来！

生：也许是一次函数关系吧，不太确定.

师：顺着你的思路，如果是一次函数，应该怎么设置变量呢？

生：设置两个变量，累计接种天数和累计接种剂数.

师：回想一下我们学过的统计知识，应该怎样操作才能直观感受两个变量是否具有线性相关关系？

生：绘制散点图.

师：非常精彩！那我们还等什么！（展示问题一：累计接种天数与累计接种剂数之间是否存在线性相关关系？如何判断？）

根据问题一，学生进行分组合作，分别选取累计接种15天、30天、45天的数据，使用计算机Excel软件绘制散点图（如图2），然后进行小组讨论、展示.

生：3个图中的点都是散布在从左下角到右上角的区域内，而且大概能连成一条线，所以累计接种天数与累计接种剂数之间存在线性相关关系，为正相关关系.

师：能求出线性回归方程吗？（展示问题二：如果累计接种天数与累计接种剂数之间存在线性相关关系，如何运用线性回归方程进行刻画？）

学生运用Excel工具，按照“选定散点图→添加趋势线→选定‘线性选项→勾选‘显示公式”的步骤进行实验，最终写出了线性回归方程式，如图3.

师根据学生作图和所列线性回归方程，展示问题三：所建立的线性回归方程是否有效、可靠？用什么方法判断？

生借助Excel软件，在求线性回归方程的操作步骤中增加勾选“显示R平方值”，利用样本相关系数来刻画线性相关的程度，如图4.

生：由图4可以看出，这3个线性回归方程的相关系数已经逼近1，说明累计接种天数与累计接种剂数之间具有很强的正相关关系，也说明我们选择的线性回归模型是恰当的.

师：解释得很到位！隨着累计接种天数的增加，我们建立的线性回归方程也在不断修正.如果将累计接种天数增加到60天、75天，累计接种天数与累计接种剂数之间还存在线性相关关系吗？（展示问题四：如何修正已经建立的回归模型？）

生根据已建立的线性回归方程，进一步增加观察天数，对原有的线性回归方程进行修正，如图5.

生1：我们小组通过散点图对比，发现散点与直线拟合的程度没有那么好了，更像是曲线，像是底数大于1的指数函数图象.

生2：也像开口向上的对称轴在右侧的二次函数图象.

生3：还像幂函数图象.

师：大家的猜想都很有意思，这种数学直觉特别珍贵！数学是一门理性的科学，猜想只是起点，还需要用我们已经学过的数学知识和方法去验证.星星之火能否熊熊燃烧，就看你们的了！

生利用Excel软件操作绘图，验证猜想，如图6.

生：当累计接种天数为75天，拟合成线性回归模型时，相关系数是0.906 3，说明线性相关关系仍然很强;拟合成指数模型、多项式模型时，相关系数分别是0.995 4、0.991，说明这两个模型比线性回归模型更符合实际情况;拟合成幂函数模型时，相关系数是0.822 3，也超过了0.75，但与实际有所偏离.

师：分析得很全面！除了建立线性回归模型，我们还可以建立其他类型的回归模型，并通过这些模型的相关系数来比较孰优孰劣.

数学建模的顺利完成离不开信息技术的支持，信息技术与课堂教学的深度融合提升了课堂教学效果.因此，教师必须熟练掌握GeoGebra、几何画板、Excel等软件的操作，才可以在建模活动中适时对学生进行应用指导.在本课教学中，我们通过设计4个有梯度的问题，引导学生利用Excel软件完成观察、猜想、操作、对比、推理、修正的建模过程，提高了学生的建模意识和能力.

在“实验导学”过程中，教师通过有效的问题引导学生进行多样化实验，并在实验过程中不断改进、提升.这样的教学设计让学生经历了上述数学建模活动的全过程，且能够在“做中学”、在“学中会”，发展了学生的合作意识、创新能力.

（三）目标解惑：借量化思想计算求解，借检验结果梳理思路

建模的最终目的是发展学生的核心素养，提高其解决实际问题的能力.为此，我们对本课进行了适当延伸.

师：你们会选择哪种线性回归模型来预测我国疫苗累计接种剂数什么时候能达到10亿？（展示问题五：如何利用模型帮助我们做出预测？）

生根据此前建立的线性回归方程进一步进行预测、验证，如图7.

生：在Excel软件里，先选定累计接种75天的散点图，然后在菜单中选定“设置趋势线格式”选项，接着选定“指数”选项，在“趋势线预测”标签下，将“前推”周期分别设置为10、11、12、13.通过观察比较，可发现当周期值为12时，纵轴的取值约为10亿.按照线性回归模型预估，在6月17日，全国疫苗累计接种剂数有望达到10亿.

师：非常棒！你能够很好地利用线性回归方程和Excel对问题做出合理的预测.除了上面的问题，老师还有一些问题需要同学们在课后解决.

师课件呈现问题：①相关关系与函数关系有什么区别与联系？②在什么情况下用线性回归方程刻画两个变量的相关关系可以获得较好结果？③用线性回归方程进行估计和预测的基本步骤是什么？④你现在会如何判断两个变量的相关程度了吗？

本节基于“创课导学”的数学建模课，按照“问题导向、实验导学、目标解惑”的教学策略组织教学，体现了3个层次的设计意图：一是用实际问题导入，创设生动的问题情境，激发学生兴趣;二是设计有层次的问题，采用实际案例，引导学生经历整个建模过程，学习建模方法，增强其分析和解决问题的能力;三是小组合作探究解决问题，提高合作意识和探究能力，培养开放包容、敢于创新的精神.（题图左为作者余莉，右为作者陈嘉颖）

（责编 蒙秀溪）