HP-Prime技术在数学实验课中的应用

张玲玲 罗程

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》指出：高中数学教学应鼓励学生运用信息技术进行学习、探索并解决问题，如利用图形计算器绘制幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等的图象，探索、比较它们的变化规律，研究函数的性质.

HP-Prime图形计算器是目前应用比较广泛的一种现代教学仪器，具有数据处理、图形绘制、简单编程等功能，可以用来绘制各种函数图形，并进行动态演示、跟踪轨迹.学生利用HP-Prime图形计算器，在教师的问题引导下自主进行数学实验，直观体验知识生成过程，能有效激发学生学习数学的兴趣，培养独立思考、自主学习、合作探究的学习态度.

本文以人教A版高中数学选修1-1“3.3.1 函数的单调性与导数”教学为例，介绍如何借助HP-Prime图形计算器开展数学实验课的“创课导学”.

一、基于学情的教学内容和教学目标解析

“函数的单调性与导数”数学实验课，是人教A版高中数学选修1-1第三章《导数及其应用》中“导数在研究函数中的应用”的第一课时，教学内容主要是导数的应用，是学生在学习导数的概念、运算及几何意义后需要进一步学习的知识.单调性是函数的重要性质之一，在人教A版数学必修1中，学生已经学会从定义的角度判定在给定区间内函数的单调性，但在作差变形环节，由于变形比较烦琐，学生往往难以完成.学习“函数的单调性与导数”这一课，可以很好地解决这一问题，能够加深学生对导数的理解，为后续学习函数的极值和最值奠定基础.

教学前，我们明确了如下教学目标：①通过具体实例，使用HP-Prime图形计算器绘制函数图形，让学生学会从“形”到“数”、从“数”到“形”的思维方法，探究函数单调性与导数的关系，发展直观想象数学素养;②通过实验探究，让学生学会运用导数方法判断函数的单调性，发现数学自身发展的一般规律;③开展实验环节，通过合作探究、观察、分析、归纳、总结，培养学生科学严谨、一丝不苟的研究精神，提高分析和解决问题的能力.

本课需要学生了解函數与导数的关系，但由于学生刚接触导数的应用，利用导数研究函数性质的能力和意识还不强，因此，教师在教学中运用适当的教学手段、工具，可以让学生的知识学习变得更为直观形象.在本课教学中，教师借助HP-Prime图形计算器开展数学实验探究，先让学生用HP-Prime图形计算器画出函数f （x）=x3-3x的图象，观察图象的单调性;然后用HP-Prime图形计算器找出函数图象上任意一点的切线，观察切线的倾斜角和斜率值的情况，从导数几何意义的角度研究函数的单调性与导数的正负关系;再用HP-Prime图形计算器画出函数f （x）=x3-3x和其导函数f （x）=3x2-3的图象，通过观察两个图象，直观感知函数的单调性与导数的正负的关系，尝试归纳结论;最后，学生在不借助相关仪器的情况下，运用自己所归纳的结论求出函数f （x）=[exx]的单调区间.在这个教学过程中，我们进一步向学生渗透了化归的数学思想，培养了学生解决实际问题的意识和能力.

二、基于HP-Prime的数学实验课“创课导学”教学法应用

本课教学，我们在遵循“创课导学”教学法的“问题导向、实验导学、目标解惑”教学路径，通过引入HP-Prime图形计算器，设计有梯度的问题，让学生大胆猜想并操作仪器进行验证，体会了知识生成的过程，感受了学习数学的乐趣.

（一）问题导向：引导学生自主展开数学实验

问题导向，就是提出有启发性的问题，使学生明确学习方向.在该教学环节中，教师可这样提问：导数可以描述函数的变化趋势，函数的单调性可以呈现函数的变化趋势，那么导数和函数的单调性一定存在某种联系，它们之间会有怎样的联系呢？学生基于这一问题，以学习小组为单位，将函数f （x）=x3-3x作为研究对象，实验探究导数与函数的单调性的联系，然后借助HP-Prime图形计算器画出该函数的图象，尝试求出它的导函数.

在学习过程中，学生借助图形计算器画出函数f （x）=x3-3x的图象，通过探究图象上任意一点的切线的斜率情况，比较分析研究原函数及其导函数的图象，从而归纳出每一个指定函数的单调性和导数的正负的关系.学生在亲身经历从形到数的学习过程中，领会了数形结合的重要思想.

（二）实验导学：通过表述实验结论，感悟其中的数学思想

实验操作是学生获取新知，构建知识体系的重要途径.在本环节教学中，我们设计了3个探究实验，让学生在实验论证过程中，领悟函数的单调性和导数的正负的关系.

[实验探究一]利用HP-Prime图形计算器研究选定函数的单调性.

教师提出问题：若已知函数f （x）=x3-3x，你能根据它的图象说出它的单调性吗？（师提示操作步骤，如图1.）学生两两合作绘制函数图象（如图2），并结合图象说出了函数的单调性.其间，教师巡视每个小组的操作情况，对个别出现操作错误的小组给予帮助.这样设计，有助于学生学会利用图形计算器直观感知函数图象，从整体上分析函数的单调性，为后续研究函数的单调性和导数的正负的关系做铺垫.

教师提出问题：根据导数的几何意义，利用HP-Prime图形计算器画出原函数f （x）=x3-3x的切线，然后观察切线的斜率情况，你们有什么发现呢？（师提示操作步骤，如图3.）学生两两合作，利用图形计算器按步骤绘制函数图象（如图4），观察图形，完成实验报告.从导数的几何意义入手，研究分析函数的单调性与导数的正负的关系，让学生初步体会到数形结合的思想.

[  操作步骤：在弹出的函数图象下方点击“菜单”中的“分析”，在“分析”中找到“切线”（手机版为“正切”），在相应单调区间上任意选取一点，画出该点的切线.通过改变同一单调区间内的点的位置，观察各点的切线的变化.

结论：①当x∈（-∞，-1）时，曲线上任意一点的切线的倾斜角为  角，k切  0，函数递增，相应的有f ′（x）  0;②当x∈（-1，1）时，曲线上任意一点的切线的倾斜角为  角，k切  0，函数递减，相应的有f ′（x）  0;③当x∈（1，+∞）时，曲线上任意一点的切线的倾斜角为  角，k切  0，函数递增，相应的有f ′（x）  0. ]

教师提出问题：利用HP-Prime图形计算器画出导函数f （x）=3x2-3的图象，通过观察思考，你认为原函数的单调性与导函数的正负存在什么样的关系？（师提示操作步骤，如图5.）学生根据步骤完成导函数图象绘制，尝试归纳其与原函数的关系.

[  操作步骤：点击“Apps”，进入“函数”功能，输入函数f （x）=x3-3x和f （x）=3x2-3，点击“Plot”，观察原函数与其导函数的图象，在相应区间内分别尝试归纳其联系.

结论：①在（-∞，-1），f ′（x）  0，f （x）在（-∞，-1）内单调递   ;②在（-1，1），f ′（x）  0，f （x）在（-1，1）内单调递   ;③在（1，+∞），f ′（x）  0，f （x）在（1，+∞）内单调递   . ]

（三）目標解惑：探幽入微，深化理解，发展学生思维能力

教学提问能让学生更加明确学习目标，引导学生开展有效的学习.在本教学环节中，我们设计了4个有梯度的问题，让学生对上一环节的结论进行反复验证，不断深化学生对原函数、导函数、单调性、单调区间等知识的认识和理解.

[问题一]思考以上实验探究中得出的结论，你觉得这一结论是否具有一般性？

教师先让学生利用HP-Prime图形计算器，在同一坐标系内分别画出下列原函数及其导函数的图象：①y=x，②y=x2，③y=x lnx，④[y=1x.]再让学生独立思考，小组讨论，对这些图象进行对比分析，验证上一环节得出的结论，尝试自行归纳一般性规律.最后，师生共同研讨，得出如下结论：一般地，对于函数f （x），如果在某区间上单调递增，那么f （x）为该区间上的增函数;如果在某区间上单调递减，那么f （x）为该区间上的减函数.

[问题二]根据上述结论，我们该如何用导数求出函数的单调区间呢？在不借助仪器的情况下，你能求出函数[f（x）=exx]的单调区间吗？该函数的定义域是什么？你能求出该函数的导数吗？

学生展开计算：首先，令f ′（x）>0或f ′（x）<0，求出x的取值范围，即函数单调递增或递减的区间;然后将函数[f（x）=exx]的定义域设为（-∞，0）∪（0，+∞），求出其导函数为f ′（x）=[ex（x-1）x2]，画出此函数的大致图象.在此基础上，学生总结出求函数单调区间的一般步骤：①令f ′（x）>0或f ′（x）<0，求x的取值范围，明确单调区间;②求函数的定义域;③求导函数f ′（x），作图分析;④下结论.

[问题三]你能否先用代数法求解下列函数的单调区间，然后画出函数的大致图象，并用HP-Prime图形计算器进行验证？

教师出示例题：①f （x）=x3+x，②f （x）=2x3-6x2+7.学生通过完成例题，进一步验证了以上结论，巩固了所学.

[问题四]通过本课学习，你有什么收获？如果给出一个函数的解析式，你会求它的单调区间吗？你能画出它的大致图象吗？

用问题四引导学生回顾本课所学，既验证了所得出的结论，又将分散的知识点串联了起来，总结出了一般性规律.这是对上述教学环节的思维过程的反思，对完善学生的知识体系、提高学生的思维水平有重要促进作用.

在本课中，教师先让学生利用HP-Prime图形计算器画出函数f （x）=x3-3x的图象，在观察图象得出函数的极值后，再让学生利用仪器分析图象上任意一点的切线的斜率值，顺理成章地引出函数极值与导函数零点的关系.紧接着，教师进一步让学生借助图形计算器绘制其他函数及其导函数的图象，观察函数在某点上极值的图象特征，然后借助图形计算器的数字视图功能，观察f ′（x）、f （x）随着x的变化而变化的规律，验证函数在极值点处导数为零及在极值点两侧导数变化的关系，进而归纳总结出求函数极值的步骤，以及函数在单调区间内变化的一般规律.

在本课教学中，学生基于教师所创设的问题情境，利用HP-Prime图形计算器动手实践、自主探究、合作交流，大胆猜测、小心验证，不仅经历了知识生成的全过程，体会了学习的乐趣，而且构建了自己的知识体系，认识了数学的本质.可以说，基于HP-Prime图形计算器的数学实验课，实现了以“教”为中心向以“学”为中心的课堂模式转型.（题图左为作者张玲玲，右为作者罗程）

（责编 蒙秀溪）