基于PAD技术的数学概念课“创课导学”实践

简璐 蒋香玲

“创课导学”教学法具有鲜明的直观性、形象性，能将抽象的数学概念形象化，有助于学生深刻理解数学概念.下面，笔者以人教A版高中数学必修1“3.1.1 方程的根与函数的零点”教学为例，介绍“创课导学”教学法在数学概念课中的具体运用.

一、教学内容分析及数学概念课“创课导学”授课路径设计

系统学习函数的概念、性质及三个基本初等函数，学会运用函数解决实际问题，是高中数学的重要学习任务.“方程的根与函数的零点”一课的学习目标之一，是发现与理解方程的根与函数的零点之间的关系，探究函数零点的存在性定理.然而，由于学生的函数思维不够深刻、抽象能力不足，采取传统教学方法很难达成这一目标.于是，我们借助PAD技术引导学生探究函数零点概念的生成与发展过程，最终达到运用知识解决问题的目的.

遵循“创课导学”教学法和概念课教学策略，我们设计了本课的教学流程（如图1）：在“问题导向”环节，通过给出具体实例，创设问题情境，让学生自主探究二次函数图象与一元二次方程的根的存在性和根的个数间的关系，引出函数的零点概念，向学生呈现数学概念的生成与辨析过程;在“实验导学”环节，借助PAD、PowerPoint2010、Excel、交互智能平板、动态几何画板等现代信息技术，采取以形辅数、数形结合的学习方法，让学生对在“问题导向”环节中获得的知识进行反复实验、论证，尝试总结、提炼出一般方程与相应函数的关系，培养逻辑推理、抽象概括的能力，形成函数的零点概念;在“目标解惑”环节，呈现习题，让学生尝试迁移运用所学知识和方法解决相关问题，真正掌握函数的零点概念.

具体来说，就是在“问题导向”环节，以红军四渡赤水的故事导入，呈现“问题导向任务单”（如图2）.在“实验导学”环节，让学生利用PAD技术作图和计算，自主绘制函数图象，运用变量思想确定参数并开展模拟实验，计算函数值，探究函数的零点的存在性定理，生成相关概念.在这个环节中，学生经历了直观感知、类比归纳、抽象概括等思维过程，体验了函数的零点概念的生成與发展、拓展与延伸.在“目标解惑”环节，设计相关练习题，引导学生研究图形、比较数据、辨析函数值符号，判断函数的零点是否存在，了解零点存在的条件，最终归纳出函数的零点的存在性定理.

“零点”作为方程与函数的结合点，揭示了函数与方程二者联系的本质.因此，用函数的观点研究方程，就是将局部问题置于整体体系中研究，将静态结果放在动态过程中研究，这样能较好地培养学生的整体观、发展观.学习本课，可为学生后续学习“用二分法求方程的近似解”提供认知基础.

二、基于PAD技术的数学概念课教学实践

沿着既定的教学路径，我们在本课教学中设计了“情境引入，问题导向→实验导学，生成概念→深层推进，辨析概念→目标解惑，巩固概念→简单应用，总结提升”5个教学环节.

（一）情境引入，问题导向

师：这是历史上著名的红军四渡赤水战役，其中包含了许多数学问题.（播完视频后展示图片，如图3.）看看这张图片，你觉得哪种情形说明红军已经渡过了赤水河？为什么？若将赤水河当作坐标系中的x轴，红军走过的路线当作函数图象，你觉得这和方程与函数的知识有什么关联？

生：红军在1月28日、2月7日出现在河的两岸，说明已经渡过了赤水河.如果将赤水河当作x轴，红军走过的路线当作函数图象，则函数图象穿过了x轴.

师：非常好！看来大家对函数和方程有了一定的了解.请你们再看看这两个方程.（课件出示方程[x2-][2x-3=0]和[lnx+2x-6=0.]）根据前面的观察和学过的知识，你能判断这两个方程有实数根吗？你是用什么方法判断的？

生：能.比如方程[x2-2x-3=0，]可以用判别式法、因式分解法、求根公式法进行判断.

师：用同样的方法能否判断方程[lnx+2x-6=0]的根的情况？

生：不能.

师：我们能否找到一种可以判断各种一元方程的根的情况的方法？

教师用历史故事创设问题情境，体现了“数学应用”的思想;以学生的经验为基础，提出具有探究性、趣味性、开放性的问题，激发学生的学习兴趣和探究欲望，让学生在解决问题的过程中培养抽象思维能力.

（二）实验导学，生成概念

师：请用PAD画出以下3个函数的图象，观察并完成以下任务.（课件呈现表1.）据此，你觉得一元二次方程的根和相应二次函数图象与x轴交点之间有怎样的关系？（生用PAD作图，讨论后得出结论：一元二次方程有几个根，相应的二次函数图象就与x轴有几个交点.）

师：这个结论可以推广到一般的方程与函数吗？请你用学过的几类函数的知识来解决，并作图，举例说明.

生1：二次函数与x轴有一个交点，对应的一元二次方程有1个根.

生2：对数函数也满足.

生3：还有幂函数.

师：（投屏学生作图）根据你们所说，老师做了一下提炼.若方程[f（x）=0]有实数根（x=x0），则函数[y=f（x）]的图象与x轴有交点（横坐标x=x0）.对于这个横坐标，我们赋予它一个新的名称——“零点”（板书零点的定义，略）.结合定义，你觉得函数的零点、方程的根、函数图象与x轴的交点，三者之间有什么关系？

生：三者是一样的.

师：你说得大致对了，但这样说会更准确.当x=x0时，函数[y=f（x）]有零点;当x=x0时，方程[f（x）=0];当横坐标x=x0时，函数[y=f（x）]的图象与x轴有交点.

为了加深学生的理解，教师进一步设计了随堂检测题.

教师用两道例题，让学生进行函数区间端点的函数值乘积符号的比较，从中学会了判断零点是否存在的方法;然后根据学生所得的结论，让学生回归红军四渡赤水的问题并进行绘图演示（如图5），解释是否存在零点与红军是否过河的关系，验证结论是否正确.在这个过程中，学生进行了反向思考、多维度思考，领悟了“连续不断”的含义，掌握了“零点存在性定理中两个条件缺一不可”的知识.

教师用一个实例引导学生借助PAD技术画出函数图象，完成相应表格，通过数形结合帮助学生学会确定函数的零点及零点个数的方法，并设计不同的解题情境，启发学生寻找不同的解题方法.在这个过程中，学生“做中学，学中做”，既拓宽了解题思路，又加深了对零点存在性定理的理解，提高了数学思维能力，培养了数学思想.

（五）简单应用，总结提升

教师出示两道例题，引导学生学会运用函数的零点知识解决实际问题.

[例题5]请观察下图（如图8）.这是气象局观测到的新疆某天的气温变化模拟函数图（一个连续不间断的函数图象），由于图中有一段图象被墨水污染了，现在小明想了解当天从a时到b时有没有温度是0摄氏度的情况，请你帮帮他.问：有没有可能出现0摄氏度的情况？为什么？如果有，可能出现几次？

在解决问题过程中，学生进一步理解了确定函数的零点及零点个数的方法，并梳理出“一组关系、两种问题、三种思想”，即函数的零点与方程的根的关系，求函数的零点问题、判断零点个数和所在区间的问题，以及函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归思想.

本课以一个切合教学内容的红军四渡赤水战役为背景引入课题，渗透了爱国主义教育，激发了学生的求知欲和学习热情;然后，根据“创课导学”教学法的理念，设计了“挖掘现实问题→把现实问题抽象为数学问题→引入课题→形成认知冲突→探索新知→应用新知解决现实问题”的教学思路，以现实问题作为学生探究的对象，并结合学生的知识水平、认知水平进行设问和引导，要求学生利用PAD技术探究问题、解决问题，尝试总结出一般性的解题方法，提升学科核心素养，为后续学习“用二分法求方程的近似解”“函数模型及其应用”等知识打下了良好基础.

这节课还告诉学生一个道理：数学知识存在于生活的每一个角落，要学会用数学的眼光看世界，要善于发掘生活、历史、政治、科学等存在的数学问题，不断提升我们的数学学科素养.

在落实本课教学过程中，教师既注重学科知识与现实生活的对接，关注学生认知能力、实操能力等的提升，又重视学生探究问题习惯的培养，各教学环节逐层推进、前后呼应，有效达成了提升学生学科学习能力和核心素养的目标.（题图左为作者简璐，右为作者蒋香玲）

（责编 蒙秀溪）