旋转变换助你解题

雷添淇

旋转是数学中一类常见的图形变换，解题中如能巧妙利用旋转，转换线段、角等的位置，往往可以迅速发现已知与未知之间的联系，快速解题，下面举例介绍.

一、旋转—腰

例1 如图1，在△ABC中，AB = AC，点P为三角形内一点，且[∠APB<∠APC]，求证：[PB> PC].

分析：待證结论[PB>PC]与已知条件[∠APB<∠APC]中四个元素是分散的，不在同一个三角形或四边形中，故考虑通过变换将这四个元素集中.考虑到点[A]为不动点，可作为旋转中心，又因为[AB=AC]，可将点[C]作为旋转后点[B]的对应点.

证明：如图2，将△ABP绕点A旋转到△ACP′位置，

则有[AP=AP']，[BP=CP']，[∠APB=∠AP'C].

连接[PP']，

∵[AP=AP']，

∴[∠APP'=∠AP'P].

∵[∠AP'C=∠APB<∠APC]，

∴∠APC-∠APP′>∠AP′C-∠AP′P，

即[∠CPP'>∠CP'P]，

∴[CP'>CP]，

∴[BP>CP].

点评：若已知条件中出现共顶点的相等线段，则可考虑构造旋转变换，将分散的条件进行集中.

二、旋转60°

例2 如图3，已知正方形ABCD内一点E到A，B，C三点距离之和的最小值为[6+2]，求正方形边长.

分析：虽然已知EA，EB，EC和的最小值，但这三条线段交于一点，需要通过图形变换将这三条线段连接起来，并使之共线.

解：如图3，将△BEA绕点B逆时针旋转60°，得到△BE′A'，

则有BE = BE′，∠EBE′ = 60°，EA = E′A′，

连接EE′，A'C.

∵BE = BE′，∠EBE′ = 60°，

∴△BEE′为等边三角形，∴EE′ = BE.

又∵E′A' = EA，∴EA + EB + EC = A′E′ + E′E + EC.

∵点C，A′均为定点，

∴当E，E′都在线段CA′上时，EA + EB + EC取最小值[6+2].

过点A′作A′F⊥CB，交CB，延长线于点F，则∠A′FB = 90°，

由旋转变换可知∠ABA′ = 60°，BA′ = BA，

又∵∠ABF = 90°，∴∠A′BF = 30°.

设正方形边长为a（a > 0），则有FA′ = [12a]，FB = [32a]，

在Rt△A′FC中有A′F2 + FC2 = A′C2，

∵FA′ = [12a]，[FC=] [32a] + [a]，[A'C=6+2]，

∴[12a2+32a+a2=6+22] ，得a = 2.

即正方形边长为2.

点评：通过旋转变换，将三条线段转移到同一条直线上是解题关键.

三、旋转90°

例3 如图4，已知正方形ABCD 内一点 E 到 A，B，C 的距离分别为[2]，1，2，求正方形的边长.

分析：由上面例题受到启发，可知应通过旋转变换将EA，EB，EC进行集中.

解：如图4，将△ABE绕点B顺时针旋转90°得到△BE'C，连接EE′.

则有CE′ =  AE = [2]，BE′ = BE = 1，∠EBE′ = 90°，

∵BE = BE′ = 1，∴EE′ = [2]，∠BEE′ = ∠BE′E = 45°.

∵E′C = EA = [2]，EC = 2，∴E′C2 + E′E2 = EC2，

∴△EE′C为等腰直角三角形，点E′为直角顶点，

∴∠E′EC = 45°，∴∠BEC = 90°，

∴BC = [BE2+EC2=5]，

即正方形边长为[5].

点评：对于正方形或等腰直角三角形，常以其顶点为旋转中心，作90°旋转变换，使其一边旋转后与另一边重合，这样往往可以构造出等腰直角三角形.