一道垂直平分线习题的变式应用

曹玉凤

[原题再现]

八年级上册第65页第6题：如图1，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE = 3 cm，△ABD的周长为13 cm，求△ABC的周长.（解题过程略，答案为19 cm）

[变式演练]

1. 如图1，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，△ABD的周长为13 cm，求AB + BC的长.

2.如图1，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，求证：△ABD的周长 = AB + BC.

3.在△ABC中，点D是BC上一个动点，求作△ABD ，使得△ABD的周长等于AB + BC.

4.如图1，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线，设△ABD的周长为m，△ABC的周长为n.求证：n - m = AC.

5.如图2，AD⊥BC，BD = DC，点C在AE的垂直平分线上. 求：AB，AC，CE的长度有什么关系？AB + BD与DE有什么关系？

答案：1. 13 cm 2.证明过程略 3.作线段AC的垂直平分线，交BC于点D，△ABD即为所求. 4.证明过程略   5. AB = AC = CE，AB + BD = DE.

[考场实战]

例（2020·江苏·南京）如图3，线段AB，BC的垂直平分线[l1]，[l2]相交于点O，若∠1 = 39°，则∠AOC的度数为 .

解析：過O作射线BP，∵线段AB，BC的垂直平分线[l1]，[l2]相交于点O，

∴OA = OB = OC，∠BDO = ∠BEO = 90°，

∴∠DOE + ∠ABC = 180°，

∵∠DOE + ∠1 = 180°，∴∠ABC = ∠1 = 39°，

∵OA = OB = OC，∴∠A = ∠ABO，∠OBC = ∠C，

∵∠AOP = ∠A + ∠ABO，∠COP = ∠C + ∠OBC，

∴∠AOC = ∠AOP + ∠COP = ∠A + ∠ABO + ∠OBC + ∠C = 2∠ABC = 2 × 39° = 78°. 故应填78°.