例谈高中数学建模教学

摘 要：建模是运用数学知识解决实际问题的重要步骤.学生建模能力的强弱与其数学学习成绩的好坏有着紧密的联系.授课中为使学生更加深刻的认识不同数学模型，并能灵活用于解答实际问题，应做好相关例题的讲解，使其更好的掌握运用数学模型解答实际问题的思路与技巧.

关键词：高中数学;建模;教学;例谈

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）27-0020-02

收稿日期：2021-06-25

作者简介：蔡于兵（1980.1-），男，江苏省泰兴人，硕士，中学一级教师，从事高中数学教学研究.

数学模型是基于对问题本质的理解，通过概括与抽象，运用数学语言描述的一种数学结构.高中数学涉及很多的模型，其中函数模型、概率模型、数列模型在测试中的出现频率较高.为使学生掌握并灵活应用这些模型，有必要进行针对性的讲解.

一、函数模型的教学

为使学生能够从实际的情境中抽象出对应的函数模型，应注重为学生深入的讲解函数模型的建立步骤、技巧，尤其通过函数模型的求解，使其掌握函数模型的求解思路.一般情况下，构建函数模型后往往运用函数性质求出最终的结果.

例1 销售甲、乙两种商品获得的利润分别是P、Q（单位：万元），它们与投入资金t（单位：万元）存在的关系为P=35t，Q=15t，若将a（a>0）万元资金投入甲、乙两种商品，其中对甲商品的投资为x（单位：万元）.如何分配投入资金才能使得总利润y（单位：万元）最大？

根據题意需要构建总利润y与x的函数模型.乙的投资为（a-x）万元，则易得：y=35x+15（a-x）（0≤x≤a）.则令x=t，则x=t2，则y=35t+a-t25=-15（t-32）2+9+4a20（0≤t≤a）.当a≥32时，此时a≥94，当t=32，x=94时，y取得最大值.当a<32时，此时0

综上，当0

二、概率模型的教学

建立概率模型应通过审题明确问题所述的概率类型.通过回顾对应概率类型的计算公式，构建对应的模型.当然在构建概率模型时应注重善于从问题的反面出发，以简化解题步骤，提高解题效率.

例2 在某项体能测试中，要求每名学生必须参加且最多两次，若第1次测试通过则不再参加第2次测试.否则将参加第2次测试.如果甲同学每次通过的概率为23，乙同学每次通过的概率为12，甲乙每次是否通过相互独立.（1）求甲乙至少有一人通过体能测试的概率;（2）计X为甲乙两人参加体能测试的次数和，求X的分布列和期望.

根据题意（1）甲未通过测试的概率P1=（1-23）（1-23）=19，乙未通过测试的概率P2=（1-12）（1-12）=14.则至少有一人通过测试的概率P=1-P1P2=1-19×14=3536.

（2）X=2，3，4，则X的分布列为：

X234P131216

∴E（X）=2×13+3×12+4×16=176.

三、数列模型的教学

构建数列模型时往往有明确的关键词，如以后每年比上一年多（少）时则需要构建等差数列模型.如以后每年是上一年的多少倍（百分之几）则需要构建等比数列模型.然后根据题意运用等差、等比数列的相关公式求解，完成题目的作答.

例3 甲、乙两个企业向签约10年的员工提供了两种均为税后的工资计算方式.甲公司第一年提供10万元的年薪，而后每年上涨20%;乙公司第一年提供20万元的年薪，而后每年上涨5%;若仅考虑收入水平，你会选择哪个公司，并说明理由.已知1.210≈6.19，1.0510≈1.63.

分析可知甲乙两公司提供的工资计算公式均为等比数列模型.其中甲公司工资计算方式构成以10为首项，以1.2为公比的等比数列.乙公司工资计算方式构成以20为首项，以1.05为公比的等比数列.则an=10×1.2n-1，bn=20×1.05n-1，则S1=10（1-1.2n）1-1.2=50（1.2n-1），S2=20（1-1.05n）1-1.05=400（1.05n-1），当n=10时，S1≈259.5>S2=252，因此，仅考虑收入水平去甲公司比较划算.

再如，某个企业去年的纯利润是500万元，由于设备老化因素影响，生产能力逐年下降，如果不能够及时进行技术升级，预计从今年起每年纯利润较上年降低20万元，在年初时，投入600万元进行技术升级，在未扣除技术改造资金时，第n年的利润是500（1+12n）万元，今年作为第一年，n是正整数.（1）从今年起的前n年，不进行技术升级，累计纯利润是An，技术升级之后的纯利润（取出技术升级资金）是Bn，求解出An和Bn的表达式.（2）从今年起算起，经过多少年之后，技术升级后的纯利润超过没有技术升级的纯利润.

在数列模型构建时，教师需要加强课堂引导，让学生认真审题，分析题目意思，保证模型建构的准确性.

在利用数列模型解题时，需要让学生思考所学习的等差和等比数列知识，全面理解题目内容，构建正确的数学模型，完成问题的分析和求解.

四、不等式模型的教学

在高中数学中，不等式是重要的基础知识，其题目类型较为复杂多变，而且不少题目和日常生活有关.在实际的不等式解题中，需要学生构建不等式模型，利用均值不等式知识完成解题.对于高中学生来说，部分学生缺乏建模意识和能力，无法完成题目情境向数学问题的转化，使得学生解题存在一定的难度.作为高中数学教师，应当以具体题目作为基础，让学生完成不等式模型构建，掌握不等式模型构建方式，提高学生不等式模型构建能力.

例4 某货船在甲乙两点运送货物，货船最大速度是35km/h，甲乙两地之间的距离是500km.货船每小时航行成本包括燃料以及其他费用，燃料费用和速度平方成正比，系数是0.6，其余费用是960元每小时.（1）把全程运输成本y（元）表示为速度x的函数.（2）货船航行以多大速度，全程的运输成本最少？

在构建不等式模型时，需要准确找到参数之间的关系，根据两地之间的距离让学生分析参数关系，先表示出从甲地到乙地的时间，根据货船行驶速度可以得出时间是500/x小时，根据题意构建数学模型，y=500x·0.6x2+960·500x=480000x+300x（0

因此，通过此题目的讲解，让学生可以更加全面的了解不等式模型解题策略，仅仅正确写出表达式是不够的，还需要去对定义域进行分析，保证最终计算结果的准确性.在此题解答中，当y取最小值时，x的取值并不在定义域的范围内，因此，不能够直接使用均值不等式进行求解.在高中数学解题中，教师应当避免学生的定势思维，引导学生灵活利用模型解题，保证解题效率和准确性.

高中数学建模教学过程中，不仅要为学生讲解具体的例题，更要注重在课堂上预留一定的时间鼓励学生反思与交流，使其把握不同数学模型特点，掌握数学建模的相关细节.同时，要求学生在课下及时开展相关的专题训练活动，积累相关的数学建模技巧，实现数学建模水平的进一步提升.

参考文献：

[1]王薇.浅谈高中数学建模课程实施的路径[J].高中数理化，2020（24）：25.

[2]王斌瑜.基于建模能力培养的高中数学教学探究[J].理科爱好者（教育教学），2020（06）：104-105.

[责任编辑：李 璟]