如何解无理方程

雷添淇

解无理方程（即根号中含有未知数的方程）是初中数学中一种较为常见的问题，其解法多样，基本解题思路是将方程“有理化”，转化为有理方程来求解. 下面举例介绍三种常用方法.

一、平方法

例1 关于[x]的方程[x2+1=ax]（a为常数）的解的情况可能是（ ）.

A.没有实数解                        B. 有两个实数解

C.没有实数解或有两个实数解          D.无法确定

分析：随着a的取值不同，方程解的情况会发生变化.

解：方程两边同时平方得[x2+1=a2x2]，

移项、整理得[（a2-1）x2=1]，

∵[x2] ≥ 0，∴当[a2-1≤0]时，方程无实数解;当[a2-1>0]时，[x2=1a2-1]，解得[x1=1a2-1]，[x2=-1a2-1]. 即原方程可能没有实数解或有两个实数解.故选C.

点评：含字母系数的方程，需要根据字母的取值情况进行分类讨论.

二、辅助方程法

例2 解方程：[3x-2+x+3=3].

分析：本题常规思路是将左边一个根式移项到右边，然后两边平方，将方程转化为有理方程.但这种解法较为麻烦，创新一下思路：因无理式[3x-2+x+3]的有理化因式为[3x-2-x+3]，方程的两边同乘[3x-2-x+3]，即可得到关于[3x-2]和[x+3]的方程组，以简化运算.

解：方程两端同时乘[3x-2-x+3]得[2x-5=3（3x-2-x+3）]，

与原方程联立，得方程组[3x-2+x+3=3，3x-2-x+3=2x-53，]

两方程相加，化简得[3x-2=x+23]，

两边同时平方，整理得[（x-1）（x-22）=0]，解得[x1=1]，[x2=22].

检验：当x = 22时，原方程不成立，∴原方程的解是[x=1].

点评：此法也称“辅助方程法”，是求解无理方程的典型方法之一，当无理式较为复杂时，这种方法可简化运算.

三、换元法

例3 解方程[2x2-4x+3x2-2x+6=15].

分析：通過观察，发现“[x2-2x]”在方程中重复出现，“[x2-2x+6]”又是题中相对复杂的部分，因此可用换元法进行化简.

解：设[x2-2x+6=y]（[y≥0]），则[x2-2x=y2-6]，

所以原方程可换元变形为[2（y2-6）+3y=15]，

化简整理得[2y2+3y-27=0]，

解得[y1=3]，[y2=-92]（舍）.

所以[x2-2x+6=9]，解得[x1=3]，[x2=-1].

经检验，[x1=3]和[x2=-1]是原方程的解.

点评：对于重复出现或复杂的部分，可以采用“换元法”. 换元时需要注意所换变量的取值范围（根式非负这一性质）.

例4 解方程：[5x2+x-x5x2-1-2=0].

分析：通过观察，发现“[5x2-1]”是题中相对复杂的部分，在将方程变形为[5x2-1+x-] x[5x2-1] - 1 = 0后可发现“[5x2-1]”重复出现，因此可用换元法进行化简.

解：令[5x2-1=y]，则原方程化为[y2-xy+x-1=0]，

解关于[y]的方程（先将[x]看成常数），因式分解得[（y-1）（y-x+1）=0]，

所以[y1=1]，[y2=x-1].

由[y1=1]得[5x2-1=1]，解得[x1=105]，[x2=-105]，

由[y2=x-1]得[5x2-1=x-1]，解得[x3=12]，[x4=-1]，

检验：当x3 = [12]时，y=x-1=-[ 12] <0，不符合题意;当x4=-1时，y=x-1=-2<0，不符合题意.

所以原方程的解为[x1=105]，[x2=-105].

点评：解决问题时，应先抓住主要矛盾，忽略次要矛盾. 本题便是运用这一思路，同时从消元的反面入手，把一元问题转化为二元问题，然后求解.