一元二次方程趣题三则

于志洪

一、卡丹摘石榴问题

卡丹是16世纪意大利数学家、哲学家、医生.卡丹对数学有特殊爱好，曾经巧妙地解答了如下一道颇受欧洲人喜爱的数学题：

例1 一群人走进果园去摘石榴，第一个人摘了1个石榴，第二个人摘了2个石榴，第三个人摘了3个石榴，以此类推，后进果园的人都比他前面的那个人多摘了1个石榴，最后这群人刚好把果园的石榴全部摘完，如果平均分配，每个人可以分到6个石榴.共有多少个人去摘石榴？

解：设这群人共有[x]人，则有1 + 2 + 3 + … + [x] = [6x]. 根据高斯求和方法：1 + 2 + 3 +  … + [100=12×100×（100+1）]，知1 + 2 + 3 + … + [x] = [12x]（[x+1]），则原方程可变形为[12x]（x + 1）[=6x]，整理得[x2-11x=0]，故[x]（x - 11） = 0，解得[x1=0]，[x2=11]. 很明显[x1=0]不合题意，应舍去.

答：共有11个人去摘石榴.

二、卡丹几何求根问题

卡丹只要稍有闲暇便从事数学研究，他对方程的解法尤其感兴趣.

除了用求根公式解一元二次方程外，他研究了用几何方法求根. 请看他的例子和解法.

例2 试用几何方法给出方程[x2+6x-91=0]的正根.

解：由图中正方形和矩形面积关系可得：

[x2+2×3×x+3×3=x2+6x+9=（x+3）2].

由已知可得[x2+6x=91]，所以（[x+3]）2 [=100]，两边开平方，得[x+3=±10].

解得[x=7]或[x=-13]（不合题意，舍去）.

他的解法巧妙、别致、新颖，令人赞叹.

三、《三国演义》中周瑜的年寿

罗贯中的小说《三国演义》中的周瑜人称周郎，不仅才华横溢，而且一表人才，风流倜傥.有一年的中考数学试卷中，命題老师就以周瑜的年龄为题，编了一首数学诗.

这道题借用苏轼的诗词《念奴娇·赤壁怀古》的头两句“大江东去浪淘尽，千古风流人物”烘托出追忆古人勋业的意境，强调对古文化的阅读理解，贯通数学的应用，激发学子孜孜以求、报效国家的志气，确实是一道融文、史、数的跨学科综合创新试题. 现介绍如下：

例3 读诗词解题，算出周瑜去世时的年龄.

大江东去浪淘尽，千古风流数人物.而立之年督东吴，英年早逝两位数.

个位平方与寿符，十位恰小个位三.开动脑筋算一算，多少年华属周郎？

诗的大意你一定能理解，“而立之年”是指30岁，就是说周瑜在30岁时当上了东吴的大都督，只可惜英年早逝，去世时的年龄也是一个两位数，其中个位数的平方就等于他的年龄，并且十位上的数比个位上的数小3.

解法1：设周瑜逝世时的年龄的个位数字为x，则十位数字为x - 3，

故依诗意得[x2=10（x-3）+x]，即[x2-11x+30=0]，解得[x1=5]，[x2=6.]

当x = 5时，周瑜的年龄为25岁，不到而立之年，不合题意，舍去;当x = 6时，周瑜的年龄为36岁，符合题意.

答：周瑜逝世时的年龄为36岁.

解法2：设周瑜逝世时的年龄的十位数字为x，则个位数字为x + 3，

故依诗意得[（x+3）2=10x+x+3]，即[x2-5x+6=0]，解得[x1=2]，[x2=3.]当x = 2时，周瑜的年龄为25岁，不到而立之年，不合题意，舍去;当x = 3时，周瑜的年龄为36岁，符合题意.

答：周瑜逝世时的年龄为36岁.