巧用平行线

黄旭军

今天的数学课上，阿木老师说要学“平行线”。同学们哈哈大笑，平行线很早就学过的，谁还不会呀！

“平行线这个知识点虽说简单，但用得好可以变成解题利器呢！”阿木老师语重心长地说。随后他出示了一道图形题，如右图。

图中ADCF是一个梯形，求阴影部分面积。

“太简单了，阴影部分是一个平行四边形，底是6 cm，只要知道高就行了！”数学课代表首先发言，然后画了一个图。

“因为梯形的上下底是一组平行线，平行线之间的距离处处相等，所以平行四边形的边DC上的高FI的长度和AD一样，也是15 cm，平行四边形的面积就是15×6=90（cm2）。”

阿木老师点点头，接着说：“这里利用平行线转移了线段，让解题十分方便！”

求图中正方形ADFG的面积。

通读全题，我们发现正方形的边长的具体值，很难用常规方法解，可是图中却标出了几个45度角。

为了方便说明，我们设AC是a cm，CD是b cm，在等腰直角三角形ABC中，根据勾股定理可得，2（a×a）=3×3。

同理，在三角形DEC中，2（b×b）=7×7。

而正方形边长AD=a+b，根据面积公式，经过复杂的计算，可求得正方形面积是50 cm2。

我们试着用平行线转移条件。

如右图，我们画出正方形对角线，即图中的红线。因为正方形对角线与水平方向成45度角，而线段B′E也与水平方向成45度角，所以二者是一组平行线。

而正方形线段AG所在边与线段DF所在边也是一组平行线，所以红线AF与线段B′E长度相等。

由图中条件可知，三角形CBB′是一个等腰三角形，所以B′C=BC=3（cm）。

可得到B′E=3+7=10（cm），也就是说正方形的对角线长10 cm。

正方形面积=10×10÷2=50（cm2）

如右图，两个正方形边长分别为4厘米和6厘米，求阴影部分面积。

阴影部分由两个三角形组成，正方形对边相等且平行，可以利用同底等高的三角形面积相等，先进行转换。由于EC与FG平行，可以将三角形DHG转换成如右图的形状。

可以先求出兩个正方形的面积和，再减去三个白色的三角形。

两个正方形面积之和：4×4+6×6=52（平方厘米）

三角形1面积：4×4÷2=8（平方厘米）

三角形2面积：（6-4）×6÷2=6（平方厘米）

三角形3面积：（6+4）×6÷2=30（平方厘米）

阴影部分面积：52-8-6-30=8（平方厘米）

连接CF，图中CF与BD都是正方形的对角线，都与BG成45度角，所以相互平行。三角形BDF的面积与三角形BCD的面积相等。

三角形BCD面积为4×4÷2=8（平方厘米），所以阴影部分面积就是8平方厘米。