“摆火柴棒”还是“数青蛙”？

刘爽

北师大版教材七年级上册（鲁教版教材六年级上册）第三章“整式及其加减”第一节“用字母代表数”是一节十分重要的开篇课。教材设置了“摆火柴棒”的问题引例（如图1），在实际教学中，有很多教师因为这个实例难度大而选择了另一个简单的引例“数青蛙”（如图2）。

两个教学引例哪个更好呢？经过反复推敲，并结合自己的教学实践，我认为“摆火柴棒”是一个好的引例，用好这个引例，会对第三章“整式及其加减”和第四章“一元一次方程”两个章节的学习产生深远的影响。加涅说：“引起一个学习事件发生的‘火种，可能有许多不同的源头。它可能源于一段时间以来一直指导个人的思维的认知策略，也可能来自从长时记忆中提取出来的语言知识。当然，引起学习的刺激还可能来自学习者的环境。当一个人关注教学时，为促使学习发生，他要精心安排学习者环境中的事件。”

教师可以利用三个“一”，将这个引例进行科学、细致的设计。

一、一个数，突破从具体到抽象的过程难点

从数到式，如何实现从具体到抽象？教师可以遵循教材中设计的4个问题（如图3）引导。对于第（1）个问题，学生数一数就可以了，教师提问：你数的是多少？你是怎么数的？学生可以畅所欲言，至于怎么数，教师在这里不需要急着让学生明确回应。对于第（2）个问题，少数学生会不厌其烦地画出有10个正方形的图，多数较“懒”的学生开始从第（1）个问题中的2个、3个正方形中找规律，此时，教师要抓住10这个“不大不小”的数做文章，可以继续重复刚才的话：你数的是多少？你是怎么数的？学生能够快速说出四种数法，教师和学生将数法整理到黑板上。（第一种，横着数来竖着数，10+10+11=31；第二种，“凑整去多”地数，4×10-9=31；第三种，“4+3”地数，4+3×9=31；第四种，“1+3”地数，1+3×10=31）四种方法展示完毕，教师提问：搭100个需要多少根？多数学生尝试采用刚刚得到的这几种方法计算，用100代替10，自然地完成了以大数代小数的过程。对于第（4）个问题，多数学生会仿照代入100的方式代入x，这样就完成了由字母代大数的过程，四种方法很快都列了出来，在板书上可以将刚才10个正方形对应的四种方法对照着整理下来，左右对比，学生清晰明白。

由此，我们可以解答一个问题，为什么有些教师认为用字母表示代数式难度很大？因为在设计中，对四种方法用代数式表达没有进行阶梯分解，没有将含有字母的代数式所表达的关系在具体的数的情境中分步研究。“从具体到抽象”在这个问题中就是从2、3到10到100再到x的递进，10这个数十分神奇，学生的四种方法在这个“不大不小”的数上充分进行了展示，完成了冲刺前的所有准备，然后进行了大数代替小数、字母代替数的过程，数10成为一个跳板，帮助学生完成了一个艰难的跨越。

二、一个猜想，摆脱“探索规律”的魔咒

有些教师不愿意用这个“探索规律”的实例，还有一个顾虑是这个问题需要占用课堂较多的时间，一旦时间过多，教师难免陷入教学引例的“泥潭”而无法自拔。所以，接下来必须有个摆脱“引例情境”的过程。教师可以这样设计。学生得出四个代数式（如图4），教师问：同学们，你们猜一猜，这四个答案应该是不同的，还是相同的？学生猜测应该是相同的。教师又问：那我们有什么办法验证一下呢？学生说代个数算算。教师可以建议学生用课本上的x=200代入计算，学生通过计算发现结果都是相同的。这时教师将学生的注意力引导到板书设计上，指着“四个代数式”，继续提问：你们觉得哪个式子最简单？学生会一致选择③式。教师又问：其他三个式子会不会通过一些法则简化为③式呢？学生看着黑板一定会产生疑惑，而这种疑惑就是对新知识的渴望。教师可以利用教材的目录，让学生浏览本章的其他几节课，通过对后几节课的主题的简单理解，教师对学生的超前学习提出具体的要求，此时学生一定会乐意接受。

教師全章备课时会发现，教材多次提及“摆火柴棒”类型问题，如第5节课“去括号”中的引例，第7节课“探索与表达规律”中的随堂练习题、习题等，不同的图形、不同的规律，学生在探究过程中，从“摆”到“数”，再到“式”的表达，培养了动手操作能力、形象思维能力和创新意识，符合新课程标准要求。值得一提的是，这个实例中出现四种不同的表达式，为本章其他知识的学习做好了铺垫，有利于学生建构学习，“摆火柴棒”可以帮助学生完成“摆—数—式—式的比较”四个环节的上位学习，从而获得继续探索新知的动力。对比之下，“数青蛙”的实例没有这样的作用。同时“数青蛙”中的数量关系是一种单一对应关系，对目前学段的学生来说过于简单，若选择它，学生的学习似乎轻松了，但对学习的整体性、连贯性及学科能力的培养没有太大的意义。

在这个教学设计的基础上，教师还可以考虑：能不能让这个引例发挥它更大的作用呢？

三、一个设问，创建两个章节的学习起点

在引导学生初步认识了本章知识轮廓后，教师可以设计这样的问题。教师提问：如果现在有2017根火柴棒，按照这样的摆法，我会摆出多少个正方形？学生很快就得到四个等式（如图5）。教师继续提问：这四个等式有名称吗？学生会辩认出这是小学时学的方程。教师又问：你能解哪个方程？学生立刻指出第③个，其他三个目前还不会解。教师引导：如果我们学会解方程，利用方程解决实际问题，就会解决其他三个了！这时教师可以再让学生翻看教材的目录，学生会惊奇地发现，第4章就是“一元一次方程”。学生很快会明白，本章的知识和下一章的知识联系十分紧密，学好本章知识对下一章的学习至关重要。这样“摆火柴棒”就把两个章节的知识联系在一起了，对学生两个章节的自主学习有了指导作用。

由此，我们可以看到，两个引例的选择背后实际上是两种不同的教学观点，一个具有短期功能，另一个具有长期效益。选择“数青蛙”的教师的想法是：引例简单，可快速进入新知学习阶段，拿出较多的时间用于训练学生如何用字母表示数，不断变化的情境让学生体会字母代表的数的意义及字母与数间的运算和数量关系。这样做，对局部学习有利，短期效果显著，但是学生丧失了可持续的自主学习能力。数学课程标准谈到：“学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程”“学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程”。“摆火柴棒”肯定要占用学生的时间和精力，但是有了感性认识和理性思考的结合，就有了健康发展的学科思维能力，特别是教师能够引发学生对实例和之后的知识之间的联系进行思考，让学生感到“站得高，看得远”，对学生今后的学习有了知识和方法上的指引。

所以，对开篇课的引例设计，教师应该有这样两个基本的选择标准：一是能不能帮助学生形成持续的自主学习动力，“课本是最好的学本”，引例的作用还需要教师用“以学为本”的眼光去审视和发现，努力通过全章备课甚至全册备课思考它的地位和价值；二是直观认识和理性思维相结合，认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作交流等，多样合理的学习方式才会获得高效的学习效率。有了这两点做保证，我们的课堂才可能成为创新型的数学课堂。

参考文献：

[1]加涅.学习的条件和教学论[M].皮连生，王映学，郑崴等，译.上海：华东师范大学出版社，2009.