用Geogebra 软件中“序列”指令巧解物理中的重复性问题

张晓丽 谢恩东

(安庆市第一中学 安徽 安庆 246003)

Geogebra官网对“序列”是这样描述的：Sequence[ , , , , ]，其中文意为：序列(表达式，变量，初值，终值，增量)，其中表达式可为指令、函数、隐式曲线等.“序列”指令可以对其“表达式”按“变量”重复执行，可以很好地解决物理中的重复性问题，下面从线、面、体3个层面分别介绍“序列”指令的应用[1].

1 图线中的重复性问题

运动学中经常会出现较复杂的运动，通常我们用图线来辅助解决此类问题，如果物体的运动具有周期性，则图线也应具有周期性，可以用“序列”指令辅助作图.

【例1】一湖南、北两岸各有一码头A和B，有甲、乙两船分别于A和B间往返穿梭匀速航行，且船每到一码头立即返航．某时刻，甲和乙刚好同时分别自A和B出发，此后，两船的第一次相遇点距A码头300 m，第二次相遇点距B码头200 m．问：

(1)湖宽是多少？

(2)自第一次相遇后，甲船至少还要航行多少航程，这两船才会在第一次相遇的位置相遇？

分析与解：(1)设湖宽为L，甲、乙两船的速度分别为v1和v2,设第一次相遇的时间为t，所以

v1t=300 mv1t+v2t=L

解得

同理第二次相遇

解得

(2)图1是物体运动的x-t图线，若两船在第一次相遇位置相遇，甲的路程必须满足

x甲=1 400k或x′甲=1 400k′+800

乙的路程必须满足

x乙=1 400n或x′乙=1 400n′+600

两船运动时间相同，由于路程的不确定性，需分情况讨论.

图1 物体运动的x-t图

题中两船在第一次相遇的位置相遇时，甲船至少航行x′甲=3 600 m，对应情形2)，如图1中P点.

拓展：若题中要求“第一次相遇的位置同样地相遇”，则相遇时两船与第一次相遇时必须有相同的速度方向，对应情形1)，如图1中Q点，甲船至少航行x甲=4 200 m.

制作方法：

(1)描点A，B，C，D，E，F，作出线段g，h，i，j，作出向量AF(v)、BE(u).

(2)指令栏依次输入：序列(平移(g,ku),k,1,4)、序列(平移(h,ku),k,1,4)、序列(平移(i,kv),k,1,5)、序列(平移(j,kv),k,1,5)，得到两船运动的x-t图线，如图2所示.

图2 利用“序列”指令得到的两船x-t图

(3)隐藏不必要对象，再描出相遇点，设置好相关属性后效果如图1所示.

2 平面内轨迹的重复性

研究物体运动规律时经常会出现运动轨迹的重复性问题，其中以带电粒子在磁场中运动出现最多.

【例2】一台质谱仪的工作原理如图3所示.大量的甲、乙两种粒子飘入电压为U0的加速电场，其初速度几乎为零，经过加速后，通过宽为L的狭缝MN沿着与磁场垂直的方向进入磁感应强度为B的匀强磁场中，最后打到照相底片上.已知甲、乙两种粒子的电荷量均为+q，质量分别为2m和m，图中虚线为经过狭缝左、右边界M、N的甲种粒子的运动轨迹.不考虑粒子间的相互作用.

(1)求甲种粒子打在底片上的位置到N点的最小距离x；

(2)在答题卡的图中用斜线标出磁场中甲种粒子经过的区域，并求该区域最窄处的宽度d；

(3)若考虑加速电压有波动，在(U0-ΔU)～(U0+ΔU)之间变化，要使甲、乙两种粒子在底片上没有重叠，求狭缝宽度L满足的条件.

图3 例2题图

分析与解：(1)设甲种粒子在磁场中的运动半径为r1，电场加速

且

根据几何关系

x=2r1-L

解得

(2)如图4所示，最窄处位于图形中间

图4 甲种粒子经过的磁场区域最窄宽度

解得

(3)设乙种粒子在磁场中的运动半径为r2，r1的最小半径

图5 重叠情形

图6 临界情形

不重叠应满足

2r1min-2r2max>L

即

解得

制作方法：

(1)在x轴上描点M，N，位置均可沿x轴移动；

(2)输入：序列(半圆((x(M)+k,0),(x(M)+k+16,0)),k,0,x(N)-x(M),0.1)，得到序列l1表示一簇从MN射入的甲粒子轨迹，如图4所示；

(3)输入：序列(半圆((x(M),0),(x(M)+k+16,0)),k,-1,1,0.1)，得到序列l2表示一簇从M射入因电压波动的甲粒子轨迹；输入：序列(半圆((x(N),0),(x(N)+k+12,0)),k,-1,1,0.1)，得到序列l3表示一簇从N射入因电压波动的乙粒子轨迹，如图5所示；

(4)改变N的位置可以得到临界情形，如图6所示；

(5)“序列”指令还可结合其他指令处理带电粒子在磁场中运动的周期性问题，图7是“序列”指令结合“平移”得到的粒子的轨迹(2019年高考江苏卷第16题)，图8是“序列”指令结合“旋转”得到的粒子的轨迹.

图7 “序列”结合“平移”粒子轨迹

图8 “序列”结合“旋转”粒子轨迹

3 三维运动的频闪照片

频闪照片是采用每隔相等的时间间隔曝光一次的方法，在同一张相片上记录物体在不同时刻的位置，能很好地反应物体的运动特点，频闪照片的物理原理与打点计时器记录物体的运动特点是相同的.用“序列”指令可轻松得到频闪图.

【例3】如图9所示，竖直圆筒内壁光滑，半径为R，上部侧面A处开有小口，在小口A的正下方h处亦有与A大小相同的小口B，小球从小口A沿切线方向水平射入筒内，使小球紧贴筒内壁运动，要使小球从B口处飞出，小球进入A口的最小速率v0为( )

答案：B.

图9 例3题图

图10 小球能从B口飞出 图11 小球不能从B口飞出

对比图10和图12及图13，可知当n=1时，v0取最小值，所以最小速率

图12 小球沿内壁运动n圈从B口飞出

图13 小球沿内壁运动1圈从B口飞出

制作方法：

(1)切换到3D视图，绘制一个高为5、半径2的圆柱体表示圆筒；

(2)创建滑动条v表示物体的速度；

(3)指令栏输入：序列((2cos(-2πvt+π),2sin(-2πvt+π),5-5t2),t,0,1,0.005)，得到的频闪图.程序部分截图如图14所示，改变v可以看出动态变化.

图14 程序部分截图