五阶线性混沌系统在图像加密中的应用

曾逸凤，徐兵，黄选红

摘要：构建在每一维空间能够扩展3个涡卷的5阶线性系统，针对其动力学特性，在Matlab中对该系统的对称性、李亚普诺夫系数等展开分析。所需混沌序列即由该系统产生，应用于数字图像加密中，获得一种新的图像加密方法。

关键词：多涡卷;5阶线性系统;混沌;安全性;图像加密

中图分类号：TP18文献标识码：A

文章编号：1009-3044（2021）21-0103-02

开放科学（资源服务）标识码（OSID）：

图像作为常用的信息载体，各个方面都有广泛的应用，尤其是在一些安全系数需求较高的一些领域，对保密性有非常高的要求。图像信息的安全是现在及未来长期发展中必须重视并且研究的问题，图像加密算法的研究是非常必要的[1]。

本文引入分段线性相关函数，构造一个新的五阶线性可控多涡卷混沌系统，并将其与“置乱+扩散”方法相结合，以获得较为优良的数字图像加密效果。

1 一种新的多涡卷混沌系统的构建

为保证构建系统的唯一平衡点属于指标2的鞍焦平衡点[2]，本文构建了一个雅可比矩阵为满秩的5阶线性系统，并基于此线性系统，引入分段线性函数构建多涡卷系统：

[xyzmn=  0  0  0  0-5   1   0   0   0-20   0   1   0   0-20   0   0   1   0-20  0  0  0  1-1x-g1（x）y-g2（y）z -g3（z）m-g4（m）n-g5（n）=WG?X=WG，]（1）

[?V=?x?x+?y?y+?z?z+?m?m+?n?n=-1]             （2）

由上式（2）所示，因为[?V=-1]，可以得出系统（1）是耗散且以指数形式收敛的，其运动轨迹会稳固在一个吸引子上，这说明混沌吸引子是存在的[3]。

为了求出平衡点，令[X=0，即：]

[00000=  0  0  0  0-5   1   0   0   0-20   0   1   0   0-20   0   0   1   0-20  0  0  0  1-1x-g1（x）y-g2（y）z -g3（z）m-g4（m）n-g5（n）]       （3）

为了分析简便，选择阶跃函数构建分段函数[gi（ai）]：

[gi（ai）=sgn（ai-1）+sgn（ai+1）.]              （4）

代入式（4），可以求得系统（1）的指标2的鞍焦平衡点，分别为[xEi=0.0208+4.]

[3577i，yEi=0.0208-4.3577i，][zEi=-0.3608+0.8323i，][mEi=-0.3608-0.8323i，nEi]

[=-0.3200，均位于（-2， 0）或（0， 2）之中.]

仿真得该系统相位图，如图1所示。

可看出该系统是中心对称的，有利于扩展多涡卷吸引子。

针对系统（1），通过选择合适的初值，基于Euler法和QR分解法计算出五个李亚普诺夫指数如下：

[L1=0.1150，L2=0.1032，L3=-0.3080，L4=-0.3596，L5=-0.3558，]

[因为L1>0，L2>0，]由此可见，该系统是一个超混沌系统[4]。

计算系统（1）的维数，如下所示：

[DL=3+L1+L2+L3L4=2.7503]            （5）

该李亚普诺夫维数是分数维数，可推出系统（1）为混沌系统。以上是关于该系统的相关动力学数据分析。

2多涡卷混沌系统在数字图像加密中的应用

（1）图像加密原理

混沌具有很好的不可提前进行预测的特性，同时也较容易控制，便于复制[5]，使得混沌系统能良好应用于图像加密中。

利用本文系统构造的五阶线性可控多涡卷混沌系统，应用于数字图像加密的原理流程图如图2所示。

首先录入图像参数值和初始值，利用混沌系统进行迭代产生所需的矩阵K1、K2、K3以及相应混沌序列。再對待加密图像进行行置乱和列置乱。为保证算法有效性，循环重复该操作。最后进行异或（XOR）运算，即可得到相应加密图像。

（2）图像解密原理

解密过程是加密过程的逆运算。同理读入待解密的图像，录入相应的参数值和初始值，以得到相应的密钥矩阵。再对加密图像进行像素值置换还原，并截取混沌序列，依照循环分别还原列置乱和行置乱，最终得到解密图像。