Hilbert型级数不等式的研究进展及应用
2021-09-22洪勇,陈强
洪 勇, 陈 强
(1. 广州华商学院 应用数学系, 广州 511300； 2. 广东第二师范学院 计算机科学系, 广州 510303)
0 引 言
Hilbert型级数不等式是研究级数算子有界性及算子范数的重要工具, 自1908年Hilbert级数不等式诞生以来, 随着独立参数的引入和权函数研究方法的创立, 目前已形成了较完善的理论体系. 1908年, 文献[1]给出了著名的Hilbert不等式：
(1)
(2)
若将序列空间lp推广为更广泛的加权序列空间：
(3)
为Hilbert型级数不等式.若定义级数算子T：
则可证明式(3)等价于算子T的不等式：
(4)
关于Hilbert型不等式理论和应用的研究目前已取得了丰富成果[3-25]. 文献[3]对齐次核的Hilbert型积分不等式的研究进展进行了综述； 文献[4]对Hilbert型积分不等式从齐次核到非齐次核的发展进行了回顾. 事实上, Hilbert型级数不等式是伴随积分不等式的发展而发展的, 它们有许多共性, 也有一些较大差异, 在一定程度上级数不等式的讨论更具挑战性. 本文对Hilbert型级数不等式的研究进展与现状进行分析综述， 并给出部分最新研究结果.
1 Hilbert型级数不等式的研究特点
类似于Hilbert型积分不等式, Hilbert型级数不等式的研究方法仍主要是权函数方法： 引入两个搭配参数a,b, 根据级数形式的Hölder不等式可得
引入权函数：
此时需要对ω1(b,p,m)和ω2(a,q,n)进行处理, 通常需要将其化为积分后再利用实分析的各种技巧进行估算, 要求K(m,t)t-bp和K(t,n)t-aq关于t在(0,+∞)上单调递减, 若不满足该递减条件, 则要用Euler-Marclaurin求和公式对ω1(b,p,m)和ω2(a,q,n)进行分析处理, 因而讨论通常变得很困难.若能得到
则可得
从而得到了Hilbert型级数不等式.然后再讨论式(5)的常数因子是否为最佳的.
从上述过程可见, 用权函数方法研究Hilbert型级数不等式, 其特点之一就是要求K(m,t)t-bp和K(t,n)t-aq在(0,+∞)上单调递减.否则, 要得到具有最佳常数因子的不等式难度很大.一般地, 任意选取的搭配参数a,b, 并不能使利用权函数方法得到的Hilbert型级数不等式具有最佳的常数因子, 从而不能得到相应级数算子的范数, 因此搭配参数a,b的选取技巧性较高.
2 针对特定核选取特定最佳搭配参数
引入与共轭指数(p,q)相独立的参数, 是Hilbert型不等式研究的重要转折点, 这一阶段的研究特点是： 针对某个含有独立参数的具体核, 技巧性地引入适当的搭配参数a,b, 得到具有最佳常数因子的Hilbert型不等式.
其中常数因子(r2+s2)是最佳的.
由定理3和定理4可见, 对于同样的核, 可以选取不同的搭配参数得到不同的具有最佳常数因子的Hilbert型不等式.
上述具有最佳常数因子的Hilbert型级数不等式, 都是基于选取适当的搭配参数a,b后利用权函数方法得到的.
3 最佳搭配参数的规律
要利用权函数方法获得最佳Hilbert型不等式, 最核心的问题是要选取最佳的搭配参数a,b, 因此讨论最佳搭配参数的内在规律具有重要的理论意义.通过对文献[6-9]成果的分析研究, 文献[10]针对拟齐次核的情形, 讨论了最佳搭配参数的充分条件, 但未能证明该条件是否是必要的.文献[11]针对齐次核的Hilbert型不等式, 得到了完善的结果.
都收敛, 则下列结论成立：
(6)
根据定理7, 可以选取各种满足bp+aq=λ+2的搭配参数, 利用权函数方法即可得到很多具有齐次核的最佳Hilbert型级数不等式.本文通过进一步探讨拟齐次核的情形, 可得下列结果.
Gλ(1,tλ2)t-bp,Gλ(tλ1,1)t-aq,Gλ(1,tλ2)t-bp+λ2c/q和Gλ(tλ1,1)t-aq+λ1c/p都在(0,+∞)上递减, 且
收敛, 则下列结论成立：
(7)
其中W0=|λ2|W1(b,p)=|λ1|W2(a,q).
(8)
其中
试判断不等式的常数因子是否最佳.
且
故a,b是最佳搭配参数.根据已知条件, 易知G(1,tλ2)t-bp和G(tλ1,1)t-aq都在(0,+∞)上递减.因此由定理8知, 式(8)的常数因子是最佳的.
目前, 关于Hilbert型级数不等式最佳搭配参数等价条件的研究已取得了许多成果[12-14].
4 Hilbert型级数不等式的构建条件
设核Kλ1,λ2,…,λk(m,n)含有参数λ1,λ2,…,λk, 则Hilbert型不等式
(9)
中含有参数λ1,λ2,…,λk,p,q,α,β.这些参数在什么条件下存在常数M使式(9)成立以及当式(9)成立时, 如何得到其最佳常数因子, 上述问题是Hilbert型级数不等式的终极理论问题. 该阶段的研究对于最终完善Hilbert型不等式理论意义重大.
文献[15]首先对Hilbert型不等式的构造进行探讨, 开启了Hilbert型不等式研究的新阶段.之后， 我们相继得到了如下结果.
则下列结论成立：
(10)
infM=W1(β,q)=W2(α,p).
Gλ(1,tλ2)t-(β+1)/q,Gλ(tλ1,1)t-(α+1)/p和Gλ(tλ1,1)t-(α+1)/p+c均在(0,+∞)上递减, 且
则下列结论成立：
1) 当且仅当c≥0时, 存在常数M>0, 使得
(11)
其中W0=|λ1|W2(α,p)=|λ2|W1(β,q).
收敛, 则下列结论成立：
1) 当λ1c≥0, 且K(1,t)t-(β+1)/q和K(t,1)t-(α+1-λ1pc)/p均在(0,+∞)上递减时, 有
(12)
2) 当λ1c≤0, 且K(1,t)t-(β+1+λ2qc)/q和K(t,1)t-(α+1)/p均在(0,+∞)上递减时, 有
(13)
这里需要指出的是, 式(12)与式(13)的常数因子并不能确定是否是最佳值, 其最佳常数因子是什么仍需进一步研究.
(14)
其中常数因子是最佳的.
不难验证
根据定理10, 式(14)成立, 且其常数因子是最佳的.
关于Hilbert型不等式构建的其他结果可参见文献[16-18].
5 重级数Hilbert型不等式的研究进展
文献[19]首次对高维Hilbert型不等式进行了探讨, 之后涌现了大量高维情形的研究成果, 这些成果有积分型、 级数型和半离散型, 本文只考虑级数型Hilbert不等式. 目前, 许多低维Hilbert型级数不等式的结果都被推广到了n重级数的情形, 我们得到了下列结果.
均收敛, 则下列结论成立：
(15)
均收敛, 则下列结论成立：
1) 当且仅当c≥0时, 存在常数M>0, 使得
(16)
2) 当c=0时, 式(16)的最佳常数因子为
6 Hilbert型级数不等式在算子理论中的应用
Hilbert型级数不等式的重要应用之一, 就是将其用于讨论具有相同核的级数算子的有界性与算子范数. 由于式(3)与式(4)等价, 因而根据定理10和定理11, 可得下列结果.
定理14在定理10的条件下, 定义级数算子T为
则下列结论成立：
其中W0=|λ1|W2(α,p)=|λ2|W1(β,q).
定理15在定理11的条件下, 定义级数算子T为
则下列结论成立：
例3试讨论级数算子T：
是否是l2中的有界算子.
解： 记
则G(x3y2)≥0.由于λ1=3,λ2=2,α=β=0,p=q=2, 故
均在(0,+∞)上递减.又因为
故根据定理15知,T是l2中的有界算子.
