布朗运动的定量分析与讨论

陈含爽

（安徽大学物理与光电工程学院，安徽合肥230601）

布朗运动是指悬浮在液体或气体中的微粒所做的永不停息的无规则运动[1]。最早由R.Brown在1827年用显微镜观察悬浮在水中花粉的运动而得名。直到50年后，J.Delsaulx对布朗运动给出了微观解释[2]，认为布朗运动是由于布朗粒子受到来自各个方向的液体分子的撞击不平衡作用导致的。当悬浮的微粒足够小的时候，布朗运动也就越显著。1905年，A.Einstein根据扩散方程建立了布朗运动的统计理论[3]。布朗运动的发现、实验研究和理论分析间接地证实了分子的无规则热运动，对气体动理论的建立以及确定物质结构的原子性具有重要意义，推动了统计物理学特别是涨落理论的发展。布朗运动是热学教学中的基本内容，然而，大多数教材对布朗运动的讨论不够深入，只对布朗运动这一现象进行描述，缺少定量的讨论[5-6]。因此，本文通过朗之万方程定量地讨论布朗运动，给出了布朗运动的统计规律，如速度和位置分布函数。

1 朗之万方程

对质量为m的一维布朗粒子，其运动方程可通过朗之万方程来描述[6-7]：

方程（1）等号右边第一项表示布朗粒子的摩擦力，其大小与速度成正比，ζ是摩擦系数；第二项表示液体分子碰撞布朗粒子的作用力，称之为随机力，假定满足高斯分布，其均值为零，即δF(t)=0，方差为2B，δF(t)δF(t′)=2Bδ(t-t′)。方程（1）的解为

2 统计平均

2.1 平均速度和均方速度

对式（2）求平均，并利用δF(t)=0，可得

式（8）是由A.Einstein[3]和M.Smoluchowski[8]分别在1905年和1906年独立发现的，称为Einstein-Smoluchowski关系。

2.2 平均位置和均方位置

rin实验验证，并给出阿伏伽德罗常数，获得了1926诺贝尔物理学奖。

3 分布函数

3.1 速度分布函数

通过离散化朗之万方程，方程（1）写为

3.2 位置分布函数

假设布朗粒子的初始位置为零，可以利用类似方法得到布朗粒子的位置分布，

即布朗粒子的位置分布满足高斯分布，其均值为0，方差随时间线性增加。

4 结束语

综上所述，本文通过求解朗之万方程，给出了一维布朗粒子速度和位移的表达式，从而得到了长时行为下布朗粒子速度和位移的统计量。结合均方速率的表达式和能量均分定理，得到了布朗粒子所受随机力大小和摩擦系数之间的关系，即涨落-耗散关系。布朗粒子的均方位移随时间线性增加，即布朗粒子的正常扩散。通过离散化朗之万方程，还可以得到布朗粒子速度和位移的分布函数，即满足高斯分布。以上运用朗之万方程对布朗运动的定量讨论有助于学生深入理解气体动理论以及统计理论，从而培养学生的科学思维和创新能力。