分圆多项式及其变形的一点注记

王 曼，赵正俊

（安庆师范大学数理学院，安徽安庆246133）

20世纪，代数数论和算术几何的研究得到迅猛发展，而与这两者密切相关的分圆理论也成为众多代数及数论学家关注的焦点。分圆多项式是代数及数论中一类重要的多项式，与分圆域理论有密切的关系[1]。特别地，分圆多项式在许多不同的背景下有相应的变形及模拟。近代代数编码理论的发展使分圆多项式的性质在密码学领域有重要的应用，研究分圆多项式的性质具有重要的理论意义。

设n是正整数，复数ς是本原n次单位根，即ςn=1，且对任意小于n的正整数m，ςm≠1。所有根为本原n次单位根且首项系数是1的多项式称为n次分圆多项式，即形如

的多项式，这里ςn=e2πi/n是本原n次单位根。

本文研究分圆多项式在整体函数域中的两类模拟及由映射复合所诱导的动力分圆多项式。

1 经典分圆多项式及其性质

设F是域，n是与F的特征互素的大于1的正整数，ς是F的某一固定代数闭包中的本原n次单位根。形如

的多项式称为域F上n次分圆多项式。分圆多项式具有以下几条重要的性质[2]。

2 由Carlitz模和Drinfeld模的torsion点诱导的分圆多项式

对于给定的代数数域，如何明确地构造该域的极大Abel扩域是著名的Hilbert第12问题。为了解决这个代数数论领域的重要问题，日本数学家Takagi在20世纪20年代创立了类域论。目前，除了有理数域与虚二次域构造出了极大Abel扩域，其他数域的极大Abel扩域的构造还毫无进展。20世纪30年代，美国数学家Carlitz为了构造有理函数域的极大Abel扩域创立了Carlitz模理论，并成功地构造出了有理函数域的极大Abel扩域。20世纪70年代，苏联数学家Drinfeld为了研究函数域上二维局部Langlands猜想，发展了Carlitz模理论，创立了Drinfeld模理论，并由此准确地构造了任意整体函数域的极大Abel扩域。Drinfeld采用的是深刻的代数几何语言，美国数学家Hayes利用相对初等的类域论进一步阐释了Drinfeld的思想，同时给出了整体函数域的极大Abel扩域的构造。由此，整体函数域的Hilbert第12问题被彻底解决。Carlitz和Drinfeld都是围绕类域论，采用经典的分圆思想构造函数域的极大Abel扩域，而添加Carlitz模和Drinfeld模的torsion点到给定的整体函数域上，可以得到类似于分圆数域的分圆函数域和类似于经典分圆多项式的函数域上的分圆多项式。

Carlitz模是秩为1的Drinfeld模，Carlitz模处理的是有理函数域中的问题，而Drinfeld模考虑的是任意整体函数域中的问题。对于由Carlitz模所诱导的分圆多项式，采用经典的数论方法，我们也可以得到类似于经典分圆多项式的性质[3-6]。

设a∈F q[T]是首项系数为1的多项式，F q是含有q个元素的有限域，Λa是a-torsion点集合，λa是Λa的生成元。设Φa(x)是λa在有理函数域F q(T)上的极小多项式，Ca(x)是Carlitz多项式，我们称Φa(x)是a次分圆多项式。容易证明，Φa(x)具有经典分圆多项式的性质。

比较性质1～5与性质6～10可见，由Carlitz模诱导的分圆多项式与经典分圆多项式形式上一致。源于环F q[T](a)与ℤ(n)具有类似的结构，不仅多项式形式一致，而且其诱导的分圆理论也具有诸多一致的性质。如它们诱导的Galois群具有类似的结构，基域中的除子在分圆扩域中具有类似的分歧性质。

对于任意整体函数域K，由Hayes发展的秩为1的sgn-normalized Drinfeld模诱导出的Hayes多项式也可以定义类似于Carlitz模诱导的分圆多项式，其确定的扩域的Galois群结构及扩域亏格与Carlitz模的情形也是类似的，两者的差异在于F q[T]是主理想整环，而一般整体函数域关于给定除子的整环只是Dedekind整环，这也是Drinfeld模确定的分圆理论要比Carlitz模复杂的根源所在。

3 多项式复合诱导的分圆多项式

算术几何与动力系统的融合促进了算术动力系统的发展，以Silverman为代表的算术几何与数论学家将Fatou与Julia发展的复动力系统的研究思路和方法引入到局部域及整体域中，若干复动力系统的经典结果在算术域中找到了相应的模拟[7]，其中，动力分圆多项式及其性质就是最具有代表性的例子。

3.1 动力系统的相关定义

设X是非空集合，f:X→X是映射，二元组(X,f)称为离散动力系统，X的子集{Of(x)=f n(x):n}≥0称为x的正向轨道。设n是正整数，用f n表示f的n次复合，f0表示恒等映射。若对于任意的x∈X，f(x)=x，则称x为f的不动点。若对于正整数n，f n(x)=x，则称x是周期为n的点，并且使f n(x)=x成立的最小正整数称为x的最小周期。如果存在整数n>0,m≥0，使得f m+n(x)=f m(x)，则称x为预周期点。显然，不动点是周期点，周期点是预周期点。

动力系统的主要目标是根据点的轨道的性状对点集进行分类，显然，x的轨道Of(x)是有限集当且仅当x是预周期点。如果集合X赋以相应的代数、拓扑、度量或者解析结构，动力系统关心的焦点就是如何刻画映射的周期点、预周期点集合以及周期点的周期等。本文赋以集合代数结构的动力系统，用朴素集合的动力系统的一条简单性质讨论有限域上二项式的周期点。

引理1 设X是非空有限集合，f:X→X是映射。f是双射当且仅当X中所有的点都是周期点。

证明 必要性。设f是双射，对于任意的x∈X，因为X是有限集合，所以存在整数n>0，m≥0，使得f m+n(x)=f m(x)，即f m(f n(x))=f m(x)。因为f是双射，对f m(f n(x))=f m(x)等式两端同时重复用f-1作用，可得f n(x)=x，所以x是周期点。

充分性。设X中所有点是周期点，对于任意的x、y∈X，如果f(x)=f(y)，不妨设x、y的周期为n,m>0，那么f n(x)=x,f m(y)=y。这样x=f nm(x)=f mn(y)=y，所以f是单射。下面证明f是双射。对于任意的z∈X，存在整数k>0使得f k(z)=z，从而z=f(f k-1(z))，故f是满射，因此，f是双射。

注对任意非空集合，引理1的充分性也是成立的，但必要性未必成立。

引理2设F q是有限域，a∈F q*，那么，X n=a在F q中有解当且仅当a(q-1)/d=1，且当X n=a在F q中有解时，恰有d个解，其中d=(n,q-1)。

定理1设f(x)=xn+a∈F q[x]，那么，F q中所有点是周期点当且仅当(n,q-1)=1。

证明注意到，xn+a是双射当且仅当xn是双射，因此，只需证明xn是双射当且仅当(n,q-1)=1。设xn是双射，γ∈F q*是生成元，那么，X n=γ在F q中有解。根据引理2，γ(q-1)/(n,q-1)=1，必然(n,q-1)=1。反之，显然，xn=0当且仅当x=0，对任意b∈F q*，由引理2可知，xn=b在F q中有唯一的解，从而xn是双射。

3.2 动力分圆多项式

设K是域，f(x)∈K[x]是次数大于1的多项式，我们可以从多项式根的角度考虑f的周期点，f的周期为n的周期点即为f n(x)-x在K的代数闭包中的根。为了模拟经典分圆多项式的定义及性质，如果α∈是f的最小周期为n的点，也称α是f的本原n次单位根，周期为n的点称为f的n次单位根。模拟经典分圆多项式，称如下多项式为由f所诱导的n次动力分圆多项式。从形式上看，动力分圆多项式是域上的有理多项式。Silverman和Morton[1,8]分别利用代数数论和代数几何的方法对算术域上的动力分圆多项式的性质及其诱导的Galois理论作了深入研究。动力分圆多项式的性质研究与其定义的域的特征密切相关，在特征为0的情形下，许多性质的证明相对于特征为素数的情形简单，例如，在复数域ℂ中，不难证明Φn,f(x)∈ℂ[x]。在动力分圆多项式的性质讨论中，下面的结论是非常重要的。

定理2设f(x)∈[x]是次数大于1的多项式，如果m|n，那么，fm(x)-x|fn(x)-x。

证明先利用数学归纳法证明对任意正整数k，有f(x)-x|fk(x)-x。当n=1时，结论显然成立。n=k+1时，设f(x)=adxd+ad-1xd-1+…+a1x+a0是次数为大于1的多项式，我们断言f(x)-x|f2(x)-f(x)。因为f2(x)-f(x)=f(f(x))-f(x)a=ad(f(x)d-xd)+…+a1(f(x)-x)，且f2(x)-x=f2(x)-f(x)+f(x)-x，所以f(x)-x|f2(x)-x。假设k>2时，有f(x)-x|fk(x)-x，不妨设fk(x)-x=(f(x)-x)g(x)，则fk+1(x)-f(x)=fk(f(x))-f(x)=(f(f(x))-f(x))g(f(x))=(f2(x)-f(x))g(f(x))，进而，fk+1(x)-x=f(x)-x+((f2(x)-f(x))g(f(x)))。结合上述断言可知f(x)-x|fk+1(x)-x。根据归纳假设，f(x)-x|fk(x)-x对一切正整数k都成立。

利用域上多项式相关理论，Morton和Patel[1]分两种情况证明了对任意域K，n次动力分圆多项式Φn,f(x)是系数属于K的多项式。利用该结论和Mobius反演公式可得下面的结论，该结论与经典分圆多项式类似。

4 结论

综上所述，本文从经典分圆多项式的定义及性质出发，介绍了分圆多项式的几种变形。通过比较这些变形与经典分圆多项式的性质和研究方法发现，经典分圆理论在不同的背景下具有很多相似之处。经典分圆理论中的Iwasawa理论在各种变形中具有哪些表现形式及性质是值得深入研究的问题，这对丰富分圆理论具有重要的意义。我们希望后续能够利用离散动力系统中相关问题的研究方法，结合代数数论中的相关理论，进一步研究动力分圆多项式的性质。