2021年高考“集合、常用逻辑用语、复数”专题命题分析

2021-09-17胡旭挺张金良

中国数学教育（高中版） 2021年8期

胡旭挺张金良

摘要：对2021年全国各地10份高考数学试卷中涉及集合、常用逻辑用语、复数的试题进行统计与分析，发现知识点、题型、分值、难度较稳定，试题较基础，主要考查学生对基础知识、基本技能和基本思想方法的掌握情况，通过分析这类试题的命题意图，总结解题策略，为今后的复习备考提供参考.

关键词：2021年高考;集合;常用逻辑用语;复数;命题分析;复习建议

2021年全国各地高考数学试卷共8套（10份），集合、常用逻辑用语、复数是必考内容，试题符合《普通高中数学课程标准（2017年版）》（以下简称《标准》）的要求. 本文通过分析命题意图，总结命题规律，提出复习建议，以进一步增强教学的针对性，促使学生掌握数学学习方法，落实数学学科核心素养.

一、考查内容分析

本文对2021年高考数学试卷进行統计、分析，发现集合、常用逻辑用语、复数的考查题型为选择题或填空题，试题简单，题量在2 ～ 3题，分值相对稳定. 集合、常用逻辑用语、复数属于必考内容，重点考查学生对基本概念、基本技能和基本数学思想的掌握情况，试题的命制具有相对稳定性、基础性的特点.

1. 集合的主要考查内容

（1）集合的含义与表示. 了解集合的含义及元素与集合之间的关系;能用自然语言、图形语言、集合语言（列举法与描述法）描述不同的具体问题.

（2）集合间的基本关系. 理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集;在具体情境中了解全集与空集的含义.

（3）集合的表示和基本运算. 理解并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集;理解在给定全集中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集;能使用Venn图表示集合的关系与运算.

2. 常用逻辑用语的主要考查内容

必要条件、充分条件、充要条件的意义;简单的逻辑联结词“或”“且”“非”的含义;全称量词与存在量词的意义，以及能否进行正确否定. 主要考查“若[p]，则[q]”形式的命题中条件与结论的充分性和必要性的判断.

3. 复数的主要考查内容

复数的概念、复数的代数表示和几何意义、复数的模和共轭复数、复数的四则运算. 主要考查复数的相关概念、四则运算及几何意义.

二、命题思路分析

集合、常用逻辑用语、复数的试题是每年高考必考的内容，试题较简单，重点考查基础知识、基本技能和基本数学思想，符合《标准》的要求，高考复习应以历年高考试题为参考，不必加深、走偏.

1. 集合部分命题思路分析

重点考查集合三类运算：交集、并集、补集.可以以简单的数集为载体进行集合运算;可以以整数和不等式（一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式）为问题背景进行数集的运算;可以结合集合表示方法（列举法、描述法）进行命题，命题突出集合的工具性.

例1 （全国乙卷·理2）已知集合[S=ss=2n+1，n∈Z，][T=tt=4n+1，n∈Z]，则[S⋂T]为（）.

（A）[∅] （B）[S] （C）[T] （D）[Z]

例2 （全国乙卷·文1）已知全集[U=1，2，3，4，5，]集合[M=1，2，N=3，4，] 则[∁UM⋃N]等于（）.

（A）[5] （B）[1，2]

（C）[3，4] （D）[1，2，3，4]

例3 （全国新高考Ⅱ卷·2）设集合[U=][1，2，3，4，5，6，A=1，3，6，B=2，3，4]，则[A⋂∁UB]等于（）.

（A）[3] （B）[1，6]

（C）[5，6] （D）[1，3]

例4 （全国新高考Ⅰ卷·1）设集合[A=x-2<x<4，][B=2，3，4，5]，则[A⋂B]等于（）.

（A）[2] （B）[2，3]

（C）[3，4] （D）[2，3，4]

例5 （北京卷·1）已知集合[A=x-1<x<1，B=][x0≤x≤2]，则[A⋃B]等于（）.

（A）[x-1<x<2] （B）[x-1<x≤2]

（C）[x0≤x<1] （D）[x0≤x≤2]

例6 （天津卷·1）设集合[A=-1，0，1，B=][1，3，5，C=0，2，4]，则[A⋂B⋃C]等于（）.

（A）[0] （B）[0，1，3，5]

（C）[0，1，2，4] （D）[0，2，3，4]

例7 （浙江卷·1）设集合[A=xx≥1，B=x-1<x<2，]则[A⋂B]等于（）.

（A）[xx>-1] （B）[xx≥1]

（C）[x-1<x<1] （D）[x1≤x<2]

例8 （全国甲卷·理1）设集合[M=x0<x<4，][N=x13≤x≤5]，则[M⋂N]等于（）.

（A）[x0<x≤13] （B）[x13≤x<4]

（C）[x4≤x<5] （D）[x0<x≤5]

【评析】上述试题均利用列举法或描述法直接给出两个集合进行命题，结合Venn图或数轴，根据集合运算的概念即可求解，属于基础题.

例9 （全国甲卷·文1）设集合[M=1，3，5，7，9，][N=x2x>7]，则[M⋂N]等于（）.

（A）[7，9] （B）[5，7，9]

（C）[3，5，7，9] （D）[1，3，5，7，9]

例10 （上海卷·2）已知[A=x2x≤1，B=][-1，0，1]，则[A⋂B]等于 .

【评析】与前几年相比，2021年高考中这类试题较少，解题应关注以下几点：会正确求解一元一次不等式、一元二次不等式、绝对值不等式、二元一次方程组，会结合集合运算的概念，借助Venn图或数轴进行运算. 该类试题是基础题.

2. 常用逻辑用语部分命题思路分析

重点考查以下三个方面：（1）关于充分条件、必要条件和充要条件的判断，主要涉及与数列、不等式、向量、函数、立体几何、解析几何等知识的结合，考查命题间的关系;（2）用“或”“且”“非”联结的两个简单命题构成的复合命题的真假判断;（3）存在量词、全称量词和含有一个量词的命题的否定. 试题命制范围广、形式活、关联多，是高考考查的热点. 试题难度不大，均属于基础题. 全国新高考Ⅱ卷第20题第（2）小题考查充要条件的证明（三点共线问题），难度较大.

例11 （全国乙卷·文 / 理3）已知命题[p：∃x∈R，][sinx<1]﹔命题[q：∀x∈R，ex≥1]，则下列命题中为真命题的是（）.

（A）[p∧q] （B）[¬p∧q]

（C）[p∧¬q] （D）[¬p∨q]

【评析】该题主要考查正弦函数的有界性，指数函数的图象与性质，全称命题、特称命题的真假性判断. 真命题需要严格证明，假命题只需找到反例即可.

例12 （全国甲卷·理7）等比数列[an]的公比为[q]，前[n]项和为[Sn]. 设甲：[q>0]，乙：[Sn]是递增数列，则（）.

（A）甲是乙的充分條件但不是必要条件

（B）甲是乙的必要条件但不是充分条件

（C）甲是乙的充要条件

（D）甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件

例13 （天津卷·2）已知[a∈R]，则“[a>6]”是“[a2>36]”的（）.

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

例14 （浙江卷·3）已知非零向量[a，b，c]，则“[a⋅c=b⋅c]”是“[a=b]”的（）.

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

例15 （北京卷·3）设函数[fx]的定义域为[0，1]，则“函数[fx]在区间[0，1]上单调递增”是“[fx]在区间[0，1]上的最大值为[f1]”的（）.

（A）充分而不必要条件

（B）必要而不充分条件

（C）充分必要条件

（D）既不充分也不必要条件

【评析】将充要条件与数列、向量、函数、立体几何、不等式、解析几何等知识结合进行考查，是高考的命题热点，成立的命题需要给予严格证明，不成立的命题只要找到反例即可，积累经典的反例素材对提高解题效率大有裨益. 浙江卷第3题要理解数量积为0的含义，北京卷第3题要理解函数最值的概念.

例16 （北京卷·15）已知函数[fx=lg x-kx-2，] 给出下列四个结论：

① 当[k=0]时，[fx]恰有2个零点;

② 存在负数[k]，使得[fx]有1个零点;

③ 存在负数[k]，使得[fx]有3个零点;

④ 存在正数[k]，使得[fx]有3个零点.

其中所有正确结论的序号是 .

【评析】由[fx=0]，可得出[lgx=kx+2]. 考查直线[y=kx+2]与曲线[gx=lgx]的位置关系，利用方程思想及数形结合思想可以判断各选项的正误. 已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质是研究函数的零点问题. 求解此类问题的一般步骤是：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题;（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式;（3）求解，即由列出的式子求出参数的取值范围.

例17 （全国新高考Ⅱ卷·20）已知椭圆[C： x2a2+][y2b2=1 a>b>0]，右焦点为[F2，0]，且离心率为[63.]

（1）求椭圆[C]的方程;

（2）设[M，N]是椭圆[C]上的两点，直线[MN]与曲线[x2+y2=b2 x>0]相切. 证明：[M，N，F]三点共线的充要条件是[MN=3].

【评析】该题的必要性证明是由三点共线及直线与曲线[x2+y2=b2 x>0]相切得到直线方程，再联立直线与椭圆方程求得[MN=3]. 充分性证明则是先设直线[MN]的方程为[y=][kx+b kb<0]，由直线与曲线相切得[b2=][k2+1]. 再联立直线与椭圆方程，结合弦长公式，得[1+k2 ⋅][24k21+3k2=3.] 解得[k=±1]，即可得证. 解决该题的关键是直线方程与椭圆方程联立及根与系数关系的应用，注意运算的准确性是解题的重中之重.

3. 复数部分命题思路分析

重点考查复数的概念、四则运算及几何意义. 常见题型是给定两个复数，计算其和、差、积、商，或利用复数的几何意义解决问题，求复数的模、实部、虚部或共轭复数等. 试题类型为选择题或填空题，属于基础题.

（1）复数的四则运算.

例18 （上海卷·1）已知[z1=1+i，z2=2+3i]，则[z1+z2]等于 .

例19 （全国乙卷·文2）设[iz=4+3i]，则[z]等于（）.

（A）[-3-4i] （B）[-3+4i]

（C）[3-4i] （D）[3+4i]

例20 （全国甲卷·文 / 理3）已知[1-i2z=3+2i，]则[z]等于（）.

（A）[-1-32i] （B）[-1+32i]

（C）[-32+i] （D）[-32-i]

例21 （浙江卷·2）已知[a∈R， 1+aii=3+i]（[i]为虚数单位），则[a]等于（）.

（A）-1 （B）1 （C）-3 （D）3

例22 （北京卷·2）若复数[z]满足[1-iz=2]，则[z]等于（）.

（A）[-1-i] （B）[-1+i]

（C）[1-i] （D）[1+i]

例23 （天津卷·10）[i]是虚数单位，复数[9+2i2+i]等于 .

【评析】上述试题主要考查复数的四则运算，考查学生的基本运算能力，属于基础题.

（2）共轭复数.

例24 （全国新高考Ⅰ卷·2）已知[z=2-i]，则[zz+i]等于（）.

（A）[6-2i] （B）[4-2i]

（C）[6+2i] （D）[4+2i]

例25 （全国乙卷·理1）设[2z+z+3z-z=4+6i，]则[z]等于（）.

（A）[1-2i] （B）[1+2i]

（C）[1+i] （D）[1-i]

【评析】全国新高考Ⅰ卷第2题主要考查共轭复数的概念、复数的四则运算. 全国乙卷理科第1题有两种解题策略：设[z=a+bi a，b∈R]，利用共轭复数的定义及复数的运算法则得出关于[a，b]的等式，解出这两个未知数的值，可得出复数[z];设[z=a+bi a，b∈R]，利用共轭复数的性质——[z+z=2a]，[z-z=2bi]即可进行求解.

（3）复数的几何意义及其应用.

例26 （全国新高考Ⅱ卷·1）复数[2-i1-3i]在复平面内对应的点所在的象限为（）.

（A）第一象限（B）第二象限

（C）第三象限（D）第四象限

【评析】此题的关键有两个：利用复数的除法正确化简[2-i1-3i];根据复数的实部与虚部求对应复平面上的点的坐标.

三、复习建议

通过对集合、常用逻辑用语、复数试题的命题分析并与历年高考试题的对比可以发现，高考命题关注基础知识、基本运算和基本思想方法. 因此，2022年高考复习应关注以下两点.

1. 以教材为本，依托试题，系统梳理知识

要避免麻痹思想，避免学生认为这部分内容试题简单，复习时一带而过;要夯实基础知识，建立知识框架体系，在限定的时间内，提高运算正确率，合理选择解题策略，形成解决问题的方法. 以历年高考试题、经典模拟题为素材，对基础知识进行精准、全面、有效地复习.

2. 以运算为主，强化训练，点对点落实过关

在复习中要强调运算方法的最优化，突出运算的准确性. 这部分高考试题难度适中，复习时不宜拔高难度，要注重巩固基础、强化技能、纠正偏差、补救纰漏，突出复习的全面性与渐进性. 研读高考试题，特别是多选题时，正确的必须证明，错误的可以举反例排除，需要对四个选项逐一验证，没有把握不能猜.

四、模拟题赏析

1. 集合部分

（1）若集合[U=1，2，3，4，M=1，2，N=2，3，]则集合[∁UM⋃N]等于（）.

（A）[3] （B）[4，5]

（C）[1，2，3] （D）[2，3，4]

答案：D.

分析：利用补集和并集的概念进行求解.

解：由已知得[∁UM=3，4]，

则[∁UM⋃N=2，3，4].

故答案选D.

（2）已知集合[A=x1<x<3，B= xx>m]，若[A⋃B=xx>1]，则（）.

（A）[m≥1] （B）[1≤m<3]

（C）[1<m<3] （D）[1≤m≤3]

答案：B.

分析：用并集的概念结合数轴，求出实数[m]的取值范围.

解：结合数轴，易得[1≤m<3].

故答案选B.

（3）（多选题）已知全集[U=Z]，集合[A=N，B=][-1，0，1，2]，则（）.

（A）[A⋂B=0，1，2]

（B）[A⋃B=xx≥0]

（C）[∁UA⋂B=-1]

（D）[A⋂B]的真子集个数是7

答案：ACD.

分析：结合集合的基本運算及真子集的概念进行求解.

解：由于[A=N，B=-1，0，1，2]，则[A⋂B=][0，1，2]，故选项A正确;

易得[A⋂B]的真子集个数是[23-1=7]，故选项D正确;

易得[A⋃B=x∈Zx≥-1]，故选项B错误;

因为[∁UA=x∈Zx≤-1]，则[∁UA⋂B=][-1]，故选项C正确.

故答案选ACD.

（4）（多选题）已知集合[A=x∈R-3<x<6，B=][x∈Rx2+ax+a2-27<0]，下列命题正确的是（）.

（A）若[A=B]，则[a=-3]

（B）若[A⊆B]，则[a=-3]

（C）若[B=∅]，则[a≤-6]或[a≥6]

（D）若[B⊆A]且[B≠A]时，则[-6<a≤-3]或[a≥6]

答案：ABC.

分析：根据集合相等、集合包含关系（子集、真子集）和空集的概念求解判断.

解：若[A=B]，则[-3]和[6]是方程[x2+ax+a2-27=0]的两实根，由根与系数的关系，得[a=-3]. 故选项A正确.

若[A⊆B]，令[fx=x2+ax+a2-27]，得[f-3≤0，f6≤0，]即[-32+a-3+a2-27≤0，62+6a+a2-27≤0，] 得[a=-3.] 故选项B正确.

当[B=∅]时，[Δ=a2-4a2-27≤0]，解得[a≤-6]或[a≥6]. 故选项C正确.

当[a=-3]时，[A=B]，不满足[B⊆A]且[B≠A]，故选项D错误.

故答案选ABC.

2. 常用逻辑用语部分

（1）“[n>1]”是“方程[x2+ny2=1]表示焦点在[x]轴上的圆锥曲线”的（）.

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

答案：A.

分析：先求出方程[x2+ny2=1]表示焦点在[x]轴上的圆锥曲线所对应的[n]的范围，再得出结论.

解：当[n<0]时，方程[x2+ny2=1]表示焦点在[x]轴上的双曲线;当[n>0]时，[x2+ny2=1]化为[x2+y21n=1]，因为椭圆的焦点在[x]轴上，所以[0<1n<1]，即[n>1]，故方程[x2+ny2=1]表示焦点在[x]轴上的圆锥曲线时，得[n<0]或[n>1]. 故“[n>1]”是“方程[x2+ny2=1]表示焦点在[x]轴上的圆锥曲线”的充分不必要条件. 故答案选A.

（2）（多选题）命题“[∃x∈1，2，x2≤a]”为真命题的一个充分不必要条件是（）.

（A）[a≥1] （B）[a≥4]

（C）[a≥-2] （D）[a=4]

答案：BD.

分析：求出给定命题为真命题的实数[a]的取值集合[P]，再确定选项A，B，C，D所对应的集合哪些是集合[P]的真子集即可.

解：命题“[∃x∈1，2，x2≤a]”等价于[a≥1]，即命题“[∃x∈1，2，x2≤a]”为真命题等价集合[P=aa≥1.]问题转化为求集合[P=aa≥1]的真子集，显然[aa≥4与4]是集合[P]的真子集，选项A，C不符合. 故答案选BD.

（3）（多选题）下列命题中正确的是（）.

（A）“[a>1]”是“[1a<1]”的充分不必要条件

（B）命题“[∃x∈0，+∞，lnx=x-1]”的否定是“[∀x∈0，+∞，lnx≠x-1]”

（C）设[x，y∈R，] 则“[x≥2]且[y≥2]”是“[x+y≥4]”的必要不充分条件

（D）设[a，b∈R，] 則“[ab≠0]”是“[a≠0]”的充分不必要条件

答案：ABD.

分析：对于选项A，C，D，根据充分条件和必要条件的定义，结合集合的包含关系进行判断即可. 对于选项B，根据存在量词命题的否定形式即可判断.

解：在选项A中，不等式“[1a<1]”等价于“[a>1]或[a<0]”. 显然“[a>1]”是“[1a<1]”的充分不必要条件，选项A正确.

在选项B中，“[∃x∈0，+∞，lnx=x-1]”的否定是“[∀x∈0，+∞，lnx≠x-1]”，选项B正确.

在选项C中，“[x≥2]且[y≥2]”能推出“[x+y≥4]”，反之不一定成立，如[x=3，y=1]，所以“[x≥2]且[y≥2]”是“[x+y≥4]”的充分不必要条件，选项C错误.

在选项D中，由于“[a=0]”是“[ab=0]”的充分不必要条件，根据原命题与逆否命题等价，则“[ab≠0]”是“[a≠0]”的充分不必要条件，选项D正确.

故答案选ABD.

（4）若定义在[R]上的函数[fx]满足[y=fx+52]是偶函数，[x-52fx>0]，则“[x1<x2]，且[fx1>][fx2]”是“[x1+x2<5]”的（）.

（A）充分不必要条件

（B）必要不充分条件

（C）充要条件

（D）既不充分也不必要条件

答案：C.

分析：先求出函数[fx]的对称轴，然后根据[x-52fx>0]可判定函数在对称轴两侧的单调性，最后根据函数的单调性验证是充要条件.

解：因为函数[fx]满足[fx+52]是偶函数，所以[f52-x=f52+x]，即函数[fx]的图象关于直线[x=52]对称. 当[x>52]时，由[fx>0]，得函数[fx]在[52，+∞]上单调递增;当[x<52]时，由[fx<0]，得函数[fx]在[-∞， 52]上单调递减. 当[x1<x2]时，若[fx1>fx2]，则[x1<x2<5-x1]，所以[x1+x2<5]成立，故充分性成立. 当[x1+x2<5]时，必有[x2<5-x1]成立，又因为[x1<x2]，所以[fx1>fx2]成立，故必要性成立，所以“[x1<x2]，且[fx1>fx2]”是“[x1+x2<5]”的充要条件. 故答案选C.

3. 复数部分

（1）已知复数[z=1+2i2+i]，则[z]等于 .

答案：1.

分析：先对复数[z=1+2i2+i]化简，再求其模，或利用复数商的模等于复数模的商求解.

解法1：因为[z=1+2i2+i=1+2i2-i2+i2-i=45+35i，]

所以[z=452+352=1].

解法2：因为[z1z2=z1z2]，所以[z=1+2i2+i=1].

（2）若复数[z]的共轭复数为[z]，且[z1+2i=1-i，]则复数[z]的虚部为（）.

（A）[35] （B）[-35i] （C）[35i] （D）[-35]

答案：A.

分析：通过对复数的除法、乘法运算，再结合复数的代数形式得到结果.

解：由于[z1+2i=1-i]，则[z=1-i1+2i=1-i1-2i1+2i1-2i=][-15-35i]，故[z=-15+35i].