指向深度学习的数学错题整理策略

邱淑瑜

反思是数学活动的核心与动力。错题整理是一个认知“再创造”的过程，教师应重视学生亲历并还原“再创造”的过程，促进学生真正填补学习过程中的薄弱处。因此，教师有意识地指导学生进行错题整理，能帮助学生打下良好的知识基础，也能促进学生掌握正确的学习方法。

一、路径分析，从静态知识到动态理解

有些学生做题凭经验，感觉似曾相识，依葫芦画瓢，没有自己的思考;或凭感觉做题，看完题目就计算，这样的做题习惯导致遇到新题型或变式题就错误百出。在整理错题时，要引导学生实现从静态的知识学习变成动态的理解，总结错误原因，掌握解题思路或方法，才能在后续练习看到题目时想到易错点，这才是真正提高错题整理能力的有效策略。

如这样一道题：已知长方形的周长是32厘米，长和宽的比是5∶3，求这个长方形的面积是多少平方厘米？大部分学生做错的原因是凭“按比例分配”的知识来解答，没有细致思考周长对应的份数，解答时没有先将周长除以2，导致解题出错。因此，错题订正时应引导学生写出每一步的计算道理，展现思考的过程，促进深度理解算理。

方法一：长方形的长32×5/（5+3）=20（cm）→求2条长

20÷2=10（cm）→求1条长

长方形的宽32×3/（5+3）=12（cm）→求2条宽

12÷2=6（cm）→求1條宽

方法二：32÷2=16（cm）→1条长和1条宽的和

16×5/（5+3）=10（cm）→求1条长

16×3/（5+3）=6（cm）→求1条宽

学生通过对解题路径的分析，得出总数要与份数相对应。从中还类比找到此类问题的解题注意点：如果是求长方体的棱长，因为长方体有4组的长、宽、高，所以按比例分配时要记得除以4。通过解题路径分析，学生发现并理解错因，还能迁移思考，找到类似的易错题，真正实现深度整理错题的价值，实现从掌握知识到掌握方法的飞跃。

二、图示表达，从抽象思维到直观理解

教材上的例题与练习一般都较为常规，大部分学生都懂得解答。而对于一些较复杂的变式题或提升题，学生的思考常出现偏差，不懂得运用数形结合的方法深入分析，匆忙解答导致错误。在错题整理时，教师应引导学生借助图示表征题目中的条件，厘清条件间的关系，引领学生从抽象的思维转化为直观的理解，促进对问题的深度分析，形成解题策略。

如这样一道题：在一个长40厘米，宽5厘米的长方形纸片上，能剪下几个最大的圆？每个圆的面积是多少？剩下部分的面积是多少？学生出现错误主要是由于没有理解最大圆与长方形之间的关系，不能正确找出关系，解答便无从下手。故订正错题时，教师应引导学生将抽象的文字理解转化为直观的图示，厘清条件之间的关系后再解答。

画图分析：

剪几个：40÷5=8（个）

每个圆的面积：r=d÷2=5÷2=2.5（cm），S圆=πr2=3.14×2.52=19.625（cm2），S剩=S长-S圆×8=40×5-3.14×2.52×8=200-19.625×8=43（cm2）

有了直观化的分析，学生错题订正后还分析比较剩下的43平方厘米是圆面积19.625平方厘米的两倍多，但是不能再剪2个圆。因为剩余边角的部分没办法组成圆，所以不能用长方形的面积除以每个圆的面积，而应该算出长边可以剪出几个圆，也就是长边包含几个直径来求解。这样的图示表达，引导学生从抽象的思考转化为直观的理解，促进学生向问题的更深处迈进，学会反思归纳，实现学习能力的提升。

三、关联展示，从单一结构走向模型建立

有些学生整理错题只是简单的订正错误，只收获一道题的解法，教师如果能一题多变，引导学生用模型思想理解一类题的特点，那么这样的错题整理就有创生的力量，实现学生知识水平的发展。

如这样一道题：一个运动场（如右图），两端是半圆形，中间是长方形，这个运动场的周长是多少米？面积多少平方米？学生做错的原因是缺乏对组合图形的周长的认知，认为求运动场的周长就是用圆的周长加上长方形的周长。笔者引导学生描一描操场的周长，说说周长包含哪几部分。学生描完后发现周长是整个外环的长，而不是各独立部分的周长总和。

错题订正：1. 运动场的周长=圆的周长+两条长=64×3.14+100×2=400.96（米）。

2. 思考：像这样用圆的周长加两条长的组合图形还可以是什么样子的？

3. 发现：这三个图形周长相等，但面积不等。

学生发现可以改变两个半圆的方向，或同时向外，或同时向内，或一个向外一个向内。无论怎么变，周长始终没有变化，但面积会改变，同时向外时的面积最大，同时向内时的面积最小。将同一个知识点不断地拓展，从单一知识结构走向模型建构，让学生领会数学的灵活性，实现整理一道错题，收获一类题的规律，这样的错题整理才能实现深度思考。

四、拓展衍生，从方法聚焦走向思维发散

在图形面积的计算中，学生习惯性的解题思路就是套用公式来求解，但对于一些组合图形的面积却不懂得解题，究其原因是学生对程序性的方法掌握较好，创造性的思维较欠缺。因此，教师要借错题整理的时机，引导学生从聚焦方法走向思维发散。

如这样一道题：如右图，已知正方形的面积是4平方米，正方形的两条边正好与圆相切，求圆的面积。很多学生找不到圆的半径，无法套用公式，解题无从下手。在学生整理错题时，笔者引导学生思考正方形的边长与圆的半径有什么关系。学生发现正方形的边长刚好是圆的半径，而正方形的面积其实就是r2=4（平方米），那么圆的面积是S=πr2=4×π=4×3.14=12.56（平方米）。

随之，笔者引导学生说说这道题和以往的题目有什么不一样的地方。学生回答说，求图形的面积不仅可以直接套用公式，还可以利用图形的特点来解答。笔者予以肯定，然后问：“如果在图中补充3个同样的正方形会变成什么图形？”学生试着画出外切圆的图形。笔者再让学生说说此时外切圆的正方形的面积可以如何表示。学生探究后回答：外切圆的正方形的面积是4r2，根据2r=d可得出4r2=d2，从图中可以看出圆的外切正方形其实是以直径为边长的正方形。