半球面上的电荷量有多大？

邱为钢

(湖州师范学院 公共教研部，浙江 湖州 313000)

《电动力学题解》(第2版)[1]中有这样一道经典的求电势分布的题目(编号2-24)，在半径为R的球面上，两半球面都是等势面，且电势互为相反数，求球内外空间各点的电势.文献[1]给出了电势的具体表达式，但是没有进一步求球面上的电荷密度和半球面上的电量.本文想回答这个问题，这个有限面积球面上的电量到底有多大？

1 全空间电势的求解

先简要推导电势的求解，具体细节可参考文献[1,2].由于体系的对称性，可以直接写出球内外的电势的表达式：

(1)

(2)

这种电势的表达式满足拉普拉斯方程，且在球面上连续，满足电势在球面内外的连续条件.在球面上有

(3)

利用勒让德函数的正交性，得到展开系数Cl的积分表达式

(4)

其中l为奇数，文献[1]给出奇数项系数表达式为

(5)

2 半球面上电荷量计算

从电势的勒让德函数求和表达式(1)和(2)，得到球内外两侧电场径向分量的表示：

(6)

(7)

由高斯定理，球面的电荷密度等于这两者之差再乘以真空介电常数，即

(8)

对半球面积分，就得到电荷的表达式

(9)

把式(8)和式(4)代入式(9)，做变量代换x=cosθ，计算得到

(10)

再利用式(4)，得到半球面上电荷量的无穷求和式

(11)

这个无穷求和没有解析表达式，虽然有可能有多重积分表达式(便于数值计算).先看一下这个无穷求和是收敛还是发散，需要确定当n趋向无穷大时，系数C2n+1的渐近展开式.首先把(5)式中的双阶乘表示为以下连乘形式：

(12)

然后利用伽玛函数比值的乘积公式：

(13)

得到系数绝对值的表达式：

(14)

由对数伽玛函数的渐近展开式[3]：

计算得到

再利用以下渐近展开式：

得到系数绝对值式(14)对数的渐近展开式：

由此得到电荷求和表达式(11)中的通项有这样的渐近展开式：

(15)

由高等数学中数列敛散判断法则，式(11)中无穷求和是发散的，即半球面上的电荷量是无穷大.

3 结论

为了维持两个半球面上相反且有限大小的电势，不仅两个半球面相互要绝缘，理论上必须给半球面输入无穷大的电量，这是不可能实现的．但是球面上总的电荷量为零，所以需要一个可以无限能量供应的精灵，在赤道上随时抽出大小相等符号相反的电荷，分到两个绝缘的半球面上，无限长时间后，才能达到两个半球面分别等势.