借助数形结合，为抽象数学“搭桥”

林钦

数形结合思想将“数”与“形”相互转化，使复杂的问题简单化、抽象的问题直观化，而且能够变抽象的数学语言为直观的图形，有助于学生理解数学知识，有助于拓展学生的数学思维，提高学生解决问题的能力。通过以形析数、以数解形、数形相融等方式，教师可以使复杂的问题简单化、抽象的问题直观化，提升学生的思维能力。

一、以形析数，变抽象为形象

在数学教学中，教师借助直观形象的几何图形、位置关系来分析抽象的数学语言、数学概念、数量关系，降低数学解题难度，培养学生的形象思维。

1.以形助数，清晰地认识数

“数”与“形”是一种特定的对应关系，在小学数学教学中有的数量比较抽象，学生难以把握，而“形”具有直观、形象的特点，能够表达具体形象的思维，在解决问题中起着直观可视的作用。为此，教学时我们可以把“数”与“形”的对应关系找出来，借助直观图形来认识抽象的数，帮助学生树立用直观图形来学习数学的意识。例如，在教学“1～5的认识”时，教师从生活中的具体事物入手，引导学生观察主题图，从中找到数学的生活原型，如1只狗、2只鹅、3只鸟、4只鸡、5个南瓜等，再让学生把这些具体事物抽象为用数字1、2、3、4、5表示。接着，为了凸显这些数的本质特征，反映数量逐个增加的过程，教师可以借助几何直观，引出这些数可以用1根小棒、2根小棒、3根小棒（摆成三角形）、4根小棒（摆成正方形）、5根小棒（摆成五边形）表示。为此，用图形表示数，把抽象的数量的增加转化成学生眼睛看得见、手摸得到的真真切切的小棒的增加，帮助学生抓住数学知识的本质，建立数的概念，培养学生的数感，以形助数，实现数与形的自然融合。

2.以形析数，厘清数量关系

小学生理解能力与分析能力有限，在面对一些复杂问题时往往不知如何下手，很难厘清这些复杂问题中的数量关系。而借助数形结合，则可让复杂的问题简单化、具体化，在数学教学中，依据数学题目的文字描述，教师可以引导学生把数量关系转化成简单图形，从而降低数学解题难度。例如，在解决分数知识相关问题时，有这样一道题：“有一箱苹果，小明一家吃了3/4，还剩下18个苹果，这箱苹果总共有多少个？”由于学生倒推能力较弱，加上里面出现了分数，学生解题时往往茫然无措。这时，教师可以先画一个正方形，相当于题目中装蘋果的箱子，然后将正方形平均分为4部分，其中三部分涂上红色，代表已经吃掉的3份，剩下的一份不涂颜色，告诉学生是18个苹果。这样，学生知道剩下的1/4是18个苹果，自然用18÷（1-3/4）计算出正确答案。原本复杂的数学问题，在教师所画图形的引导下，学生就能正确梳理其中的数量关系，从而解答问题。

二、以数解形，变感性为理性

在小学阶段，学生在学习计算图形的周长、平面图形的面积、立体图形的体积时，通常运用以“数”解“形”的方法，把“形”转化成“数”的形式，用已学过的知识将图形用代数式表达出来，再根据条件和结论的联系，利用相应的公式进行代数运算。

例如，在教学“三角形的分类”一课时，教师引导学生仔细观察三角形中角的度数大小与三条边的情况，辨别三角形的种类。然后，教师放手让学生独立思考：如何分类？分类标准是什么？再组织学生小组交流，最后指名汇报。这时，学生可能会采取各种各样的分类方式，教师再引导学生以角为标准进行分类。这样，学生通过亲身体验、操作测量，充分感知不同类型的三角形的角的度数所包含的图形特征。通过“数”和“形”的结合，让学生辨别三角形与角的大小之间的关系。这样，学生只要结合三角形内角和与已知三角形中两个角的度数，都能借助角的度数去判断三角形的种类问题。学生一看到相关三角形的度数时，马上能联系到不同的三角形的特征，在头脑中建立起三角形的不同模型。从而感受以“数”解“形”的过程，形成良好的数感，也培养了逻辑思维能力。

三、数形相融，变现象为本质

“形”与“数”相融就是指在数学学习中，需要“形”与“数”互相渗透融合，不仅从“数”联想到直观的“形”，而且还由直观的“形”变成“数”，从中找出“形”与“数”内在的联系，做到看“形”思“数”，见“数”想“形”。

例如，在计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32时，按照一般的方法，学生可能先进行通分，再按同分母分数加法的法则计算出结果。从题目中可以看出，这不是一般意义上的计算题，应透过一般现象找到本质的东西来加以解决。为此，教师应引导学生认真观察每一个加数的特点，把每一个加数通过图1表现出来。

通过观察图1中各加数的关系，学生很快就发现，计算1/2+1/4+1/8+1/16+1/32，实际就是计算1-1/32。教学中，教师引导学生认真观察图形，学生却不明白图形要表达的意思，只要在图1中标上数据，当“数”与“形”相互融合时学生就能一目了然，从而顺利解决问题。

又如在教学“组合图形的面积”时，我们可以从生活情境导入，借助图形，让学生去发现，去探究，去解决问题，有效地培养学生的直觉思维与求异思维。在巩固练习环节，教师出示这样的一道练习题：如图2，大家能否算一算，制作一面中队旗要用多少布？面对组合图形的面积，学生不可能有现成的公式进行计算，必须思考如何进行割补转化。

第一种：分割成两个梯形，第二种：分割成一个长方形和两个三角形，第三种：添补成一个大长方形减去三角形。

……

在探究、解决问题的过程中，借助数形结合，可以把复杂内容具体化、形象化。学生在对直观图形的观察、分析、转化等一系列过程中，让解决问题的方法多样化，从而提高思维能力。

（作者单位：福建省福清市教师进修学校）