基于李雅普诺夫方法的电力系统静态频率稳定分析

2021-09-15成连生

湖南电力 2021年3期

成连生

(国网湖南省电力有限公司，湖南长沙410007)

0 引言

电力系统必须保持同步稳定、频率稳定和电压稳定才能正常运行。同步稳定研究同步发电机组转子的相对运动；频率稳定研究同步发电机组转子的绝对运动。同步发电机组只有同时保持同步稳定和频率稳定，才可稳定运行[1－2]。

电力系统静态频率稳定是在小干扰下系统频率在平衡状态的稳定能力。在小扰动中，系统存在微小的有功功率不平衡量，导致频率出现小的偏差；小扰动消失后，如果系统频率能够恢复到干扰前运行状态，或恢复到一个新的允许稳定状态，则系统频率保持静态稳定，否则，静态失稳[3－5]。静态频率稳定主要取决于系统发电机组原动机的机械功率与负荷的电磁功率保持静态平衡的能力。在研究电力系统的静态频率稳定时，可不考虑静态同步稳定问题，即在系统小干扰下，发电机转子之间没有相对运动，“同频”运行。可用一台等值发电机组来分析静态(或暂态)频率稳定问题。造成电力系统静态频率失稳的根本原因是系统阻尼不足。发电机组的原动机没有调速系统或调速系统响应较慢时，如果系统阻尼小于临界阻尼，系统静态频率失稳；发电机组有快速响应调速系统时，在出现阻尼比为负的状态下，系统频率静态失稳。

发电机组有足够的热备用容量和快速响应调速系统，可较好地跟踪负荷变化，有利于系统频率稳定和恢复。目前，研究电力系统频率静态稳定的方法较多。文献[6]提出了风电机组参与电力系统频率控制的方法；文献[7]提出了一种基于电压灵敏度分析的孤立型电力系统频率控制方法；文献[8]总结了深度学习等人工智能方法在高比例新能源电力系统频率控制的应用前景；文献[9]提出了基于状态反馈线性化的电力系统频率控制方法。本文采用现代控制理论中较完备的李雅普诺夫(Lyapunov)第一方法和第二方法，即间接法和直接法分析系统的静态频率稳定性。在建立等值单机电力系统的有功功率－频率静态模型基础上，推导了发电机组无调速系统下基于李亚普诺夫间接法和直接法的静态频率稳定依据，并考虑发电机有快速调速系统时，利用李亚普诺夫方法分析电力系统保持静态频率稳定的条件。

1 电力系统有功功率-频率静态模型

1.1 基础条件

本文研究等值单机系统的静态频率稳定性。结合电力系统静态频率特性，在研究单机系统静态频率稳定性中，可作以下简化:

1)考虑发电机组原动机静态频率特性。

2)考虑负荷功率静态频率特性。

3)线损并入负荷。

4)考虑电力系统线性化微分方程数学模型。

1.2 同步发电机静态频率模型

电力系统发生小扰动时，发电机组的功率－频率静态特性可表示为发电机组原动机有功出力的微小变化ΔPM和频率微小偏差Δf的关系，即:

式中，PM、PG分别为原动机、发电机的有功功率，KG为原动机有功功率－频率静态调节系数。

1.3 负荷静态频率模型

电力系统在小扰动下，负荷的功率－频率静态特性可表示为负荷PL有功功率的微小变化ΔPL和频率微小偏差Δf的关系，即:

式中，kL为负荷有功功率的静态频率调节系数，一般kL＝1～3。

1.4 电力系统静态频率模型

综合考虑发电机组和负荷的静态频率模型，等值单机系统的线性化微分方程为:

式中，M为发电机组的转动惯量，汽轮发电机组转动惯量一般为8～16 s，水轮发电机组转动惯量一般为4～8 s。ΔPD为发电机阻尼功率变化量，D为发电机阻尼系数，Ks表示为:

发电机的阻尼功率包括电磁阻尼和机械阻尼两部分。机械阻尼包括风阻、摩擦等。电磁阻尼由发电机的励磁绕组和阻尼绕组提供，反映在电磁功率中，故式(3)中阻尼系数D只反映发电机的机械阻尼特性，一般D为1～3。

2 李雅普诺夫方法在系统频率静态稳定分析的应用

2.1 李雅普诺夫间接法

李雅普诺夫间接法通过分析线性系统特征值判断系统的稳定性[10－11]。利用李雅普诺夫间接法分析系统静态频率稳定性时，首先求取等值单机系统式(3)的特征值，然后根据特征值实部判断系统频率稳定性。

等值发电机组的转子运动方程式(3)可改写为:

式中:

状态方程式(4)的特征值为:

利用李雅普诺夫间接分析法，系统静态频率临界稳定时，状态矩阵的特征值为0，即:

临界阻尼系数为:

当D＜Dcr(即λ＞0)时，频率在平衡点按指数非周期失稳；当D＞Dcr(即λ＜0)时，频率在平衡点按指数非周期趋于稳定。

发电机具有快速高放大倍数励磁系统，弱联系统，远距离、重负荷输电，系统具有并联电容补偿等，可能出现负阻尼状态，甚至发生负阻尼系数越过临界值造成静态频率失稳。

2.2 李雅普诺夫直接法

李雅普诺夫直接法通过直接构造系统的李雅普诺夫函数判断系统的稳定性。利用克拉索夫斯基方法构建等值单机系统的李雅普诺夫函数，分析系统频率在平衡点f(0)运行的静态频率稳定性[12]。

由式(4)求得雅可比函数为:

等值单机系统的李雅普诺夫函数为:

根据李雅普诺夫稳定性原理，V(Δf)是正定的，那么静态频率稳定的条件为李雅普诺夫函数V(Δf)的一阶导数是负定的则有:

3 考虑快速响应调速系统的静态频率稳定分析

3.1 快速调速系统的发电机组静态频率模型

发电机调速器大致分为机械液压式和电气液压式两类。一般地，机械式调速系统的响应速度较慢，且存在动作死区，电气液压调速系统的响应速度较快。系统静态频率稳定分析应考虑响应速度快的机械液压式或电气液压式调速系统的影响。快速调速系统主要由调速器、开度限制器、水(汽)惯性等环节组成，其可用一阶惯性环近似等效为:

式中，TG为调速系统和发电机组原动机的组合时间常数，KG为调速系统频率偏差系数。

考虑快速调速系统动作特性后，等值发电机组的状态方程为:

将式(8)改写为:

式中:

3.2 基于间接法的静态频率稳定性分析

式(12)中，矩阵A的特征值为:

式中，α为频率响应衰减时间常数，ω为振荡角频率，ξ为阻尼比，ωn为自然振荡角频率，即:

对比式(13)和式(5)可知，不考虑发电机组调速系统的特征值为实数，有快速调速系统的特征值为共轭复数。基于特征值λ和阻尼比ξ的关系，系统频率在平衡点f(0)的静态稳定性判据:

1)当ξ＜0时，系统为负阻尼系统，频率响应呈指数正弦周期振荡失稳。

2)当ξ＝0，系统为临界阻尼系统，频率响应呈等幅正弦周期振荡，达到频率静态稳定极限。

3)当ξ＞0时，系统为正阻尼系统，静态频率稳定。其中，当0＜ξ＜1时，系统为欠正阻尼系统，特征值系实部为负的共轭复数，频率响应呈指数正弦周期振荡趋于稳定；ξ＝1时，系统频率从按指数正弦周期振荡趋稳到按指数非周期趋稳的分界点；ξ＞1时，系统为过正阻尼系统，特征值为负实数，频率响应按指数非周期趋于稳定。

综上可得，考虑快速调速系统影响后，阻尼比ξ反映了系统静态频率稳定的状况。