无失效转向架侧架贝叶斯可靠性评估方法

2021-09-14王洪昆蒋增强

武汉理工大学学报（信息与管理工程版） 2021年4期

王洪昆，操琴，蒋增强

(1.神华铁路货车运输有限责任公司，北京 100011;2.北京交通大学机械与电子控制工程学院，北京 100044)

侧架是铁路货车转向架的核心零件，侧架的可靠性，对于转向架系统乃至整个货车系统都至关重要。侧架一旦发生失效，将带来难以估量的损失。随着科技的发展和制造工艺水平的提升，侧架的设计使用寿命越来越长，在正常检修中很难观察到失效个体。因此，在失效数据稀疏，甚至是无失效数据的情境下进行转向架侧架的可靠性评估，成为亟待解决的问题。

可靠性评估通常通过试验或检修中收集的失效数据，基于寿命分布函数，针对元件或系统在规定条件下实现其功能的能力进行评估[1]。一般用可靠度函数、生存函数、平均故障间隔时间等概率指标表征可靠性[2]。基于无失效数据的可靠性评估多依托于截尾寿命试验与贝叶斯方法。在截尾寿命试验中，将试验结束时未失效的个体归为删失数据，以实现基于不完整数据的可靠性评估[3]。而贝叶斯方法通过先验分布的形式，将零部件的先验工程知识带入可靠性评估，可以提高参数估计的精度[4]。HAN等[5]分别基于经典贝叶斯方法和分层贝叶斯方法，在假设指数分布为零部件寿命分布的基础上进行无失效数据下的可靠度点估计方法研究。刘海涛等[6]基于产品寿命分布服从威布尔分布的假设，运用寿命函数的凹凸性计算得出产品寿命分布函数中各个参数的贝叶斯估计量。为解决分层贝叶斯方法计算繁琐的缺点，HAN[7]提出了期望贝叶斯估计(E-Bayesian estimation)方法，并比较了期望贝叶斯估计方法、经典贝叶斯方法和分层贝叶斯方法的优缺点，随后将该方法应用于极少失效数据下的可靠性评估问题[8]。肖丽丽等[9]提出应用最优置信限法对威布尔寿命分布下的可靠度置信区间的下界进行估计，该方法虽然突破了贝叶斯方法专注于点估计的局限性，但也假定寿命分布中的形状参数已知，引入了新的限制。GAO等[10]进一步讨论了期望贝叶斯估计方法与期望贝叶斯估计方法中超参数选取的问题。谢桂华等[11]在样本量较小的工程环境下，利用Bootstrap方法直接对样本重抽样，以此扩充无失效数据的样本量。根据重抽样的样本可以无限逼近参数的真实分布这一特征，不断减少Bootstrap计算过程中存在的偏差，最终得到参数的置信区间值。

综上，基于无失效数据的可靠性评估虽有一定的研究基础，但对于贝叶斯方法与Bootstrap的结合尚不充分，且基于实际工程中检修数据的应用研究较少。因此，笔者在李海洋等[12]的技术路线基础上，将期望贝叶斯估计方法与参数Bootstrap的方法相结合，并灵活应用于铁路货车转向架侧架的可靠性评估问题上，深入讨论超参数选取与分布形式、Bootstrap重抽样样本量等对评估结果的影响。

1 侧架的寿命分布与无失效样本

1.1 侧架的寿命分布类型

针对无失效数据的转向架侧架进行可靠性评估的首要条件，是明确侧架服役数据所服从的概率分布形式，即累计分布函数。在侧架中，诸多位置都有可能出现裂纹，进而导致侧架失效，而侧架的寿命取决于第一次出现该类现象的时间。因此，侧架的寿命应服从最小值分布，而威布尔分布是最常见的一种最小值分布，这也符合国内外学者对机械零部件寿命的常用假设[13]。因此，笔者采用Weibull分布来表征侧架的服役数据，并针对寿命分布的选取对建模的影响进行分析。Weibull分布的累计分布函数为：

(1)

式中：β为形状参数，影响着产品的失效机制，该值的大小一般与产品制成材料相关；θ为尺度参数，代表产品的特征寿命大小，关系着产品寿命函数的离散程度。

在可靠性评估中，常用概率密度函数或可靠度函数来表征分布函数，威布尔分布函数的可靠度函数可表示为：

(2)

1.2 无失效侧架样本数据

通过前期多次的现场调研，收集到2013—2019年某铁路货车检修公司检修系统中全部C80型货车的K6型转向架侧架数据，共计14万余条记录。其中包含94 813个侧架信息，2013年生产的侧架共有5 117个。为进行可靠性评估，主要利用定时截尾试验对数据进行分组和处理。定时截尾试验是在试验前规定好试验停止时间，此时获得的失效数据个数为随机变量。如对m组侧架进行可靠性试验，事先确定好各组的截尾时间，排序后记为T1,T2,…,Tm(T1

经过上述计算讨论，以2014年1月1日为同一开始试验时间，参加试验的是2013年无失效数据的5 117个侧架，截尾试验情况如表1所示。

表1 侧架的无失效数据

截尾时间的生成方法是生成600个随机数，将其从小到大排序，依次取前60个数据为一组，于是将600个随机数分成10组；然后取略小于每组数据中最小数据的数值作为一个截尾时间点，从而得到10个截尾时间点。

2 侧架可靠度评估

可靠度的点估计方法主要基于加权最小二乘法的配分布曲线法[14]和期望贝叶斯估计方法。可靠度的区间估计方法主要基于Bootstrap重抽样法。

2.1 模型设定

在配分布曲线法中，需要选取各删失时间点的失效概率Pi的先验分布。因为Pi的分布形式为二项分布，故通常采用贝塔分布Beta(a,b)作为Pi的先验分布，以便于数学上的计算求解[15]。先验分布Beta(a,b)中的超参数a和b，一般由专家提供或根据实际工程经验测定。针对第一层超参数难以确定的情况，可构建多层先验分布，即进一步建立超参数的(第二层)先验分布。考虑到侧架的高可靠性，通过定时截尾试验收集到的失效数据稀疏，乃至无失效数据，因此先验知识中失效概率Pi值较小的可能性较大，且Pi的先验分布应该满足减函数特性。文献[14]通过对Beta(a,b)的概率密度函数求导，在减函数的特征条件下，推知超参数的范围为a∈(0,1],b≥1。当参数a固定时，随着b的取值变大，Beta函数尾部越来越细，进一步导致估计的波动性变大。设定参数b的取值上限阈值为c(c≥1)，则1≤b

(3)

根据文献[10]的分析结果，设定参数c取值为4。但现有文献对于超参数的取值并不详尽，笔者将讨论超参数的取值及分布形式对评估结果的影响。

根据删失数据相关理论[16]，删失时间大的个体更有助于确定零件的可靠性。因此，在配分布曲线法中可采用基于时间的加权最小二乘法来体现不同时间点的样本的重要性。配分布曲线法中加权系数的计算方法为：

(4)

Bootstrap重抽样的基本理念是：若分布模型可作为数据生成的模型，则基于仿真生成的数据也可作为倒推分布模型的有效手段。Bootstrap方法基于从总体中得到的样本，从中有放回的随机抽取子样本，构造Bootstrap样本并以此计算Bootstrap估计值。Bootstrap重抽样法可分为参数Bootstrap重抽样和非参数Bootstrap重抽样。非参数Bootstrap重抽样不需对总体分布进行假设，计算过程较为简单，但不适用于小样本，且重抽样过程存在不确定性，可能忽略部分观测值而造成估计结果产生偏差。参数Bootstrap重抽样可在对总体分布的假设正确时，求得精确的估计区间。但参数Bootstrap重抽样需要明确原始样本的删失和截断机制，因此它更适用于截断删失机制简单的样本。本研究在点估计中确定了分布形式，且原样本是无失效数据，不存在截断、区间删失情况，因而参数Bootstrap重抽样法更为适用。基于参数Bootstrap法的区间估计流程如图1所示。

图1 基于参数Bootstrap法的区间估计流程

2.2 可靠度的点估计结果

以年份为时间节点，令超参数b～U(1,4)，a～U(0.5,1)，得出侧架在各时间节点的可靠度，如表2所示。

表2 各年份可靠度推算结果

(5)

2.3 侧架可靠度的区间估计结果

已知侧架规定寿命为9 125天，在采用参数Bootstrap法进行可靠度的区间估计时，还需要确定重复抽样的次数M。以任务时间为3 650天为例，仿真得到不同抽样次数对可靠度区间波动的影响情况，并据此确定抽样次数M。新抽取的样本数量与原始样本量保持一致，当重抽样M次时，可以计算得到M组不同的参数估计值。当置信度1-α=0.9、M的取值在20～6 000之间变化时，侧架可靠度区间上下限的估计情况如图2所示。

图2 侧架可靠度区间估计随抽样次数的波动情况

由图2可以看出，当抽样次数在2 000次以上时，区间估计的上下限值波动较小。考虑到评估结果的准确及计算的简便，将抽样次数M定为5 000次。在此基础上，结合侧架点估计的结果，同时得到可靠度点估计和区间估计与运行时间的相关关系，如图3所示。

图3 侧架的可靠度点估计及区间估计随着时间的变化曲线

从图3可以看出，侧架的可靠度随着时间的拉长呈现出逐步衰退的趋势。点估计值在区间估计范围内并且各时间点的区间估计宽度较小，体现了Bootstrap方法进行可靠度区间估计的显著优势。

3 模型验证与讨论

3.1 超参数a的取值对评估结果的影响

表3 不同a取值下的参数估计值

图4 不同a取值下的可靠度函数

3.2 寿命分布选取对评估结果的影响

Weibull分布随着参数的选取，可以等效或近似为很多常见分布，如指数分布(β=1)、瑞利分布(β=2)、正态分布(β=3.5)。因此，在没有其他备选条件下，采用Weibull分布作为寿命分布是合理的。为说明建模流程的适应性，采用指数分布加以测试。指数分布的密度函数为：

(6)

通过E-Bayes方法得到各截尾时间点的失效率估计值后，即在服役时间t=Ti时，对应的产品失效概率为Pi。根据配分布曲线法，在指数分布下失效概率满足以下等式：

Pi=1-e-λTi

(7)

对等式两边取对数，可以得到ln(1-Pi)=-λTi。令y=ln(1-Pi)，xi=Ti，μ=-λ，可以得到yi=μxi+εi。其中，εi是Pi和Pi的E-Bayes估计值做替换时产生的偏差。通过加权最小二乘法，求得μ=-1.2×10-6，进而得到侧架的可靠度函数R(t)=e-1.2×10-6t。

以指数分布为寿命分布时得出的可靠性评估结果不尽如人意，说明了分布选择的重要性，但也从侧面反映出建模流程的鲁棒性。需要指出的是，对于对数正态分布等较为复杂的分布形式，难以通过配曲线法进行求参，还需要进一步研究通过其他仿真或解析方法进行可靠性评估。

3.3 基于仿真研究的模型验证

假设某总体服从威布尔分布，且形状参数为2，尺度参数为40 000。通过蒙特卡罗仿真方法，每次仿真从该总体中产生5 117个随机数并进行定时截尾试验，试验安排与侧架的试验安排一致。为了同时研究不同截尾试验时间及样本数量对可靠性评估的影响，共进行1 000次仿真，每次仿真设置不同的试验时间跨度和样本量，得到可靠度点估计误差的平均值，如图5所示。

图5 不同试验条件下的可靠度估计误差

从图5可以看出，随着试验样本量的增大，平均估计误差呈下降趋势；随着试验时间跨度的增大，平均估计误差呈下降趋势。在试验时间为1 460天，试验数量为5 000时，25年内可靠度点估计的平均误差约为4.46%，小于置信度，且随着试验时间和试验数量的增加，误差逐步降低。因此，为提高可靠度估计的准确性，应尽量增大样本数量及试验时间。

3.4 基于模型对比的模型验证

下面将进行置信限分析法与参数Bootstrap重抽样法的对比验证。在已知零部件寿命分布类型和形状参数值的条件下，通过参数估计的上下限进行可靠度的区间估计。在置信度为0.90，设置研究运行时间为1～25年，将Bootstrap重抽样方法下a=1(模型1)和a～U(0.5,1)(模型2)两种情况下得到的区间宽度与置信限分析方法(模型3)得到的区间宽度进行对比，得到不同模型的可靠度区间宽度随着任务时间的变化情况，如图6所示。