基于HPM的“双曲线及其标准方程”教学设计及其分析

吴夕鸣

【内容摘要】双曲线定义及其标准方程是中学数学的重要概念，也是学生学习的难点内容。通过HPM的适当引入和教学，能够加强学生对双曲线轨迹定义和截线定义的联系认识，从而提高学生解析几何的直观想象、数学运算的核心素养。

【关键词】数学史 双曲线概念 核心素养

《普通高中数学课程标准（实验）》指出“数学是人类文化的重要组成部分。数学课程应适当反应数学的历史、应用和发展趋势……帮助学生了解数学在人类文明发展中的作用，逐步形成正确的数学观。”[1]将数学史融入数学教学之中，是培养学生数学素养的重要途径。

然而由于教学的压力和对数学史认识的缺乏，一些教师很少将数学史融入课堂教学，或者仅仅是通过对数学人物和故事的简单介绍，未将其中所蕴含的数学发展思想传授给学生。例如，在“双曲线及其标准方程”的教学中，教师往往通过“拉链法”引入第一定义，再采用类比椭圆方程的“二次平方法”推出标准方程。采用上述方法固然正确，但可能引起学生对双曲线定义原来的疑惑，以及之后对第一定义和第二定义的脱节，推导方程的计算过程也较为机械。针对以上问题，笔者通过HPM的角度，将历史中出现的双曲线定义和方程的推导方法进行挖掘和提炼，结合日常教学经验，对双曲线及其标准方程这一内容进行教学设计，以期望取得更好的教学效果和相关思想方法的渗透。

设计意图

圆锥曲线是一個古老的话题。在1830-1969年间出版的英美早期解析几何教科书中，多达93种对双曲线进行了不同形式的推导。在教科书中主要出现双曲线的4种定义方式，其中，通过旦德林双球模型来揭示双曲线的定义，其中蕴含的知识皆有助于培养学生的直观想象和逻辑推理。方程推导方法涉及几何、代数、三角等多领域，蕴含大量数学知识。因此，HPM视角下的教学设计可从以上方面入手。

学情分析

学习本节之前，学生已经掌握了椭圆的定义和标准方程的推导，椭圆的定义推导过程中向学生介绍了旦德林模型推导。本节课主要是要通过类比椭圆的旦德林双球模型推导双曲线定义，以及在标准方程的推导上选择较为巧妙的方法较少计算量。

教学过程

（一）复习回顾，引入课题

问题1：在上几节课中，我们已经学习了椭圆的定义以及其标准方程。在定义的推导中，我们感受到了古人的智慧，并通过旦德林双球模型，连接了椭圆的轨迹定义和截线定义。请先回忆一下，我们是如何通过旦德林模型，推导出了椭圆的轨迹定义呢？

问题2：椭圆的轨迹定义是什么？截线定义是什么？标准方程是什么？

设计意图：通过回顾，让学生回忆通过旦德林模型推导椭圆的定义推导过程，为之后通过此模型类比得出双曲线定义做铺垫。在推导过程回顾的基础上，再加深椭圆定义和标准方程的理解。

（二）类比椭圆，生成定义

问题3：双曲线的截线定义在第一课中我们已经介绍过，古希腊人是如何截出双曲线的呢？

问题4：回顾通过旦德林双球模型得到椭圆的过程，即通过在圆柱得椭圆截面上下两侧放入两个与截面相切的球，通过球的切线、切点性质得到长度的等价，从而得到椭圆上点轨迹的性质。那么，双曲线是否可以设计类似的模型呢？

设计意图：问题4教师需要对学生进行一系列引导。首先可以思考为何椭圆可以通过圆柱截出，双曲线是否可以？若不可以，那么可以通过什么图形得到？从而引导学生想到双曲线截线得圆锥图形。通过GeoGebra等几何软件，画出图形让学生有一个直观的认识。其次，通过椭圆模型的切点即为椭圆的焦点，通过切点切线性质得到PQ+PR=PE+PF，从而引导双曲线的双球模型如何放球？切点和切线之间有何关系？最后，可引导出双曲线焦点性质： PF2-PF1=常数

问题5：通过上述模型得到了双曲线焦点的性质，那么满足这个性质的一定是双曲线吗？我们能够通过这个性质在平面上机械的作出双曲线吗？

设计意图：教师可以先回顾椭圆的机械作图，然后用一根拉链，拉链两边的差为F1F2，以F1 ，F2为焦点作双曲线，由此作出双曲线，归纳出双曲线的轨迹定义。归纳过程中，教师可以追问：“PF1-PF2=2a表示的轨迹是？定长等于F1F2怎么样？大于F1 F2？小于F1F2？”从而加深学生对定义的理解。

（三）借鉴历史，导出方程

问题6：椭圆有标准方程，我们是如何最简单地建立出标准方程的呢？

问题7：怎样建立双曲线的方程呢？

设计意图 通过类比椭圆标准方程的推导，确立建系、设点、列式、化简的步骤，以及分析双曲线图像的对称性质，得到双曲线的轨迹方程，也更好的理解“标准”的所在。

问题8：如何化简上述所得方程呢？有没有更好的化简方法呢？

设计意图 学生已经在椭圆标准方程的学习中得到了一个化简方法：移项后两次平方。然而此种算法较为繁琐。教师可以介绍Young（1830）采用的平方差法，由：

通过上述方法，拓宽学生的视野，在学有余力的情况下，还可以介绍洛必达的“和差术”方法来化简。

问题9：双曲线中的a，b，c有怎样的等量关系呢？

问题10：焦点在y轴上的双曲线方程是怎样的呢？

设计意图 通过椭圆的类比，得到双曲线参数的关系，以及焦点在y轴上的方程，从而完成双曲线定义和方程的概念生成。

（四）学以致用，运用方程

例1，求适合下列条件的双曲线的标准方程：

设计意图 例1为常规题型，旨在让学生进一步理解双曲线的参数、标准方程的方法，教师给予板书书写解题过程，并归纳一般求双曲线方程的方法（待定系数）

对于例2，旨在让学生进一步通过数形结合的思想来思考，由形助数，而不是一味地进行复杂的化简。也让学生进一步感受到数形结合的运用能让解题如虎添翼。

对于例3，是数形结合的进一步运用，教师可进行适当分析，画图，板演一道后再进行相关变式练习。

总结与反思

（一）基于历史，让学习过程更自然

在双曲线的教学中，教师一般是通过椭圆学习的类比思想，利用拉链法得出定值的结论，归纳出双曲线轨迹定义，再利用二次平方法，化简出标准方程。但是，拉链法的使用学生并不能很自然地想到，并且无法和双曲线的截线定义联系，从而有一定脱节，对之后的统一定义学习留有障碍。其次，方程的化简方法也和第一课类似，无法提起学生的兴趣，不利于学生深入理解双曲线的知识。

在以HPM为基础上，本节课依旧是通过椭圆类比，在学生已经有椭圆旦德林双球模型知识的基础上，再进行适当变化，可以让学生对知识的获取更加符合思维拓展的顺序（历史序）。其次，利用多媒体技术也可以增强学生的空间感官，让学生充分探究。最后，利用旦德林双球模型，将截线定义和轨迹定义统一起来，体现了数学知识的互相联系。

（二）運用史料的方法更加多元化

以往教师在运用史料时，一般是对数学家、数学故事的补充介绍，只是增加了一些课堂的趣味性，但没有将古人的数学思想融入课堂。以HPM为基点的教学，希望能将史料中的数学思维融入课堂，通过史料来解决一系列数学问题。本课的旦德林双球模型，即是一种让学生能够更好接受圆锥曲线轨迹定义的方法，以形助数。而在算法中，古人的智慧也是无穷的，洛必达的和差术、Young的平方差法等，都是拓展学生计算思维的优秀案例。教师在基于书本的基础上，拓展出更多巧妙地解法，可以锻炼学生的数学思维，同时也能让学生体会到数学的精妙，提高对数学的领悟。鼓励学生再探究、再思考，加深对数学积极的情感态度。

（三）不足之处

本节课利用旦德林双球模型，学生需要较强的空间想象能力。因此在教学的过程中，除了使用多媒体之外，教师还应研究如何让学生能够更好地想象出旦德林双球模型。在化简方程过程上，如何更加自然地想到平方差法，也是需要进一步探讨的。

【参考文献】

[1]教育部.普通高中数学课程标准[M].北京：人民教育出版社，2016：10+38.

[2]程琛.双曲线的发生教学研究[D].华中师范大学，2014.

[3] 张佳丽.HPM视角下高中圆锥曲线的教学研究[D].江西师范大学，2018.

（作者单位：苏州市第三中学校）