如何运用数学思想解答一次函数问题

2021-09-10吴开云

语数外学习·初中版 2021年1期

吴开云

数学思想是对数学知识的高度抽象与概括，是解答数学问题的利器.在解题过程中，同学们不仅要掌握扎实的基础知识，还要加强对数学思想的灵活运用.一次函数是同学们在初中阶段遇到的第一个非常明确地将“数”与“形”融为一体的知识点，除了数形结合思想，一次函数中还蕴含着丰富的数学思想，如分类讨论思想、建模思想等，而这些数学思想就是同学们在解答一次函数相关问题时的重要工具.

一、分类讨论思想

分类讨论思想是指当数学对象无法统一研究时，需要按照一定标准，对其进行分类讨论，逐一求解，各个击破，最后再综合归纳，得出最终答案.在求解一次函数问题时，若碰到多种情况，同学们要审清题意，认真分析可能产生的不同情形，巧用分类讨论思想解答问题，从而确保解题的准确性与完整性提高思维的严谨性和解题的完整性（搭配不当）.

例1 已知一次函数y=kx+b的自变量的取值范围是﹣3≤x≤6，相应的函数值的取值范围是﹣5≤y≤﹣2，求这个一次函数的解析式.

分析：由于一次函数y=kx+b中k的正负不明确，即函数图象的变化趋势无法判断，因而需要对k>0和k<0两种情况进行分类讨论，再运用待定系数法即可求出该函数的解析式.

解：分两种情况：

①当k>0时，把x=﹣3，y=﹣5;x=6，y=﹣2代入一次函数的解析式y=kx+b，

得，

解得，

则这个函数的解析式是y= x﹣4（﹣3≤x≤6）;

②当k<0时，把x=﹣3，y=﹣2;x=6，y=﹣5代入一次函数的解析式y=kx+b，

得，

解得，

则这个函数的解析式是y=﹣ x﹣3（﹣3≤x≤6）.

故这个函数的解析式是y= x﹣4（﹣3≤x≤6）或者y=﹣ x﹣3（﹣3≤x≤6）.

点评：对于某些一次函数问题，若系数含有参数，或k这个常数量正负不确定时，就需要分类讨论，这样才可以避免漏解.

二、数形结合思想

我们在研究一次函数的性质时，是通过列表、描点画出一次函数的图象，然后通过观察直线的走势来归纳一次函数的性质，由函数表达式画出图象的过程是将“数”转化为“形”的过程，而由图象总结其性质又是将“形”转译为“数”的过程，其中就蕴含了数形结合的思想.因此，在解答一次函数的有关问题时，运用数形结合思想可以使数学问题直观化、简单化，从而轻松解题.

例2 如图1，已知一次函数y= x+b的图象与反比例函数y= 的图象相交于A（2，3），B（6，1）两点，当 x+b< 时，x的取值范围为 .

解析：对于此题，按照常规思路运用代数法求解，即先通过点A（2，3），B（6，1），求出一次函数的解析式：y=- x+4，以及反比例函数的解析式：y= ，再列出不等式- x+4< .显然，这一分式不等式，需要化简为整式，求解过程较繁琐.因此，不妨运用数形结合思想，从直观图象出发，不难看出直线的图象在反比例函数图象的下方部分对应的自变量的值即为所求.仔细观察图象，可以发现当x=2及x=6时， x+b= 、直线x=2和x=6、y轴，将图象分成了四部分，由图1可知，当06时， x+b< .所以答案为06.

点评：本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，同学们要善于观察图形，运用数形结合思想，让解题简便易行.

三、建模思想

从实际问题中抽象出数学模型，再运用数学知识来解决问题，这种思想叫做数学建模思想.它是解答应用题的一种重要思想方法.对于某些一次函数应用题，同学们要根据问题情境提取数量关系，然后构建数学模型，借助已知条件分析模型，进而求解，最后驗证所求结果的合理性，使实际问题顺利获解.

例3 煤炭是某市的主要矿产资源之一，每天有大量的煤炭运往外地.某煤矿现有100吨煤炭要运往甲、乙两厂.通过了解获得甲、乙两厂的有关信息如下表：（表中运费栏“元/t·km”表示每吨煤炭运送二千米所需人民币）

要把100吨煤全部运出，试写出总运费y（元）与运往甲厂x（吨）煤炭之间的函数关系式;如果你是该矿的矿主，请设计出合理的运送方案，使所需的总运费最低，并求出最低的总运费.

分析：总费用=运往甲厂的费用+运往乙厂的费用.经化简后可得出y与x的函数关系式，然后根据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围，然后根据函数的性质来算出所求的方案.

解：若运往甲厂x吨，则运往乙厂为（100﹣x）吨.

依题意得：y=150x+100×1.2×（100﹣x）

=30x+12000.

依题意得：

解得20≤x≤60.

∴函数关系式为y=30x+12000，20≤x≤60.