解三角形中边、角转化问题的浅析

吴清锋

【摘要】在学习解三角形这一章中，我们可能多多少少会有这样的想法：新授的内容其实并不难，甚至可以说相对函数等章节来说是比较简单的，因为很多学生最后概括一下无非就是学习了正弦定理和余弦定理，而且要把它们背出来也并非难事。但是会有更多的学生通过作业和加深会漫漫发现，题目并非我们想象的那么简单，甚至可以说许多学生在解题过程中会遇到无从下手的感觉.今天，就通过一些比较典型的判断三角形形状的例题，一起来感受一下解此类题型过程中有关边、角之间的转化和如何进行化边、化角选择的问题提出自己一些拙劣的看法。

【关键詞】边;角;三角形;三角形形状;正弦定理;余弦定理

首先，对解答一些有关判断三角形形状的题型，给出自己一个大致的解题思路：1、通过正弦定理、余弦定理等将所有边化成角;2、通过正弦定理、余弦定理等将所有角化成边;3、通过化简，边、角均还有所保留。对于上述提到的第3个解题思路，已知条件或式子往往具有一定的特殊性，具体因题而异，比较注重已知条件的特征，进行适当的选择与化简.这里就举个最为简单、直观的例题（例1）进行一笔带过，将不进行展开与提升，主要对解题思路1和2进行具体的展开与探讨。

当然，这道题对学生来讲，考察的仅仅是余弦定理的熟练应用而已，只需把余弦定理熟背，就能很快将此题答案解出，相信绝大部分学生都是没什么问题的。解答如下：

但是，我们这里要讲的不是解答的问题，我们这里不妨来分析下上述所给出的3个解题思路，不难发现，其实已知条件的等式已经符合了第一个解题思路，所有的不需要任何化简，都已经全是边长了，但根本无法直接解出本题答案，这就是我们上述所说的要看已知条件或式子的特征，发现与余弦定理有着紧密的联系，有时候反而会因为这些特殊性导致我们化简到最后，将边角均有所保留的情况.这里也只是点到为止，不加扩展，下面我们就通过例题对思路1、2进行具体的展开与尝试。

此例题首先利用降次公式化简，部分的化简解答如下：

化简到这步，相信很多学生还是可以做到的，再继续观察这个等式，发现有边，又有角，那么接下来就是如何选择的问题了.我们就对思路1（化成角）和思路2（化成边）都来进行尝试：

法一：（利用正弦定理，进行边化角）

法二：（利用余弦定理，进行角化边）

上述两种解题思路，两种方法都是比较简便的，但相比而言，可能在运算上选择法二（角化边）更为简单一些，但无可厚非，这两种解题方法都是需要我们掌握的.

此题相对于上述例2等式上更为复杂一些，但我们同样也可以去尝试用思路1和思路2两种不同的方法去解答.

这里值得一提的是，因为我们要实现所有角全部化成边，所以首先要对 进行适当处理，然后再用余弦定理实现角到边的转化过程.具体解答如下：

当然，这两种解答过程一对比，从运算的角度看，毫无疑问，相信基本所有的学生都会选择法一（边化角），但法二又何尝不是一种解答呢？

对于本例题，其实深入研究，你会发现其实用思路3（“巧妙的”留角留边）也是可以解决问题的。

法三就巧妙的运用了正弦定理中的 ，通过等式的特有的特征完成了对三角形形状的判断。

参考文献：

[1]贺斌.对一个数学问题的别证、加强与联想.数学通讯.2015.