一次函数背景下的存在性问题

摘 要：一次函数是八年级数学的学习内容，在平面直角坐标系中，研究点和直线的动态特征，以及在动态情境下产生的几何图形存在性问题，是考察学生思维能力的有效载体，已成为考试的重难点.本文将结合具体题目，从不同方面探讨存在性问题的解法.

关键词：一次函数;存在性;对称;两圆一线;弦图

中图分类号：G632      文献标识码：A      文章编号：1008-0333（2021）02-0017-02

收稿日期：2020-10-15

作者简介：王帅兵（1988.7-），男，河南省鲁山人，本科，从事数学教学研究.

一、两定一动型，注意好“一上一下”

兩定一动型，是指在给定两个点的情况下，另一点在一条线上运动所产生的面积问题，解决这类问题，要做好题目分析，有一边与坐标轴平行时直接求解;没有边与坐标轴平行时，用好“铅锤法”（或“割补法”），同时注意好“一上一下”.

例1 如图1所示，一次函数y=2x+4的图像与坐标轴分别交于点A、B，在一次函数的图象上是否存在一点P，使得△AOP的面积为3？

思路分析 由题设条件，易求出点A和点O坐标分别为（-2，0）和（0，0），点P为直线上一动点，不妨设其坐标为（x，y），当点P位于x轴上方时，S△AOP=2×y2=3，解得y=3，代入表达式y=2x+4可得点P坐标为（-1/2，3）.由于坐标系中的对称性，点P也可以位于x轴下方，此时可求出点P的坐标为

（-7/2，-3）.综上，点P坐标为（-1/2，3）或者（-7/2，-3）.例2 如图2所示，直线y=1/2x与直线y=-x+3相交于点A，点B是直线y=1/2x上的一个点，且横坐标为4.如果点P是直线y=-x+3上的一个动点，且满足△ABP的面积为9，那么点P的坐标为.

思路分析 如图2，易求出点A和点B坐标分别为（2，1）和（4，2）.如图3，过点P向x轴做垂线交直线AB于点F，设点P（a，-a+3），那么点F坐标为（a，12a） ，则△ABP的面积为：PF×（xB-xA）2=（3-a-12a）（4-2）2=9.解得a=-4，点P的坐标为（-4，7）.同理，如图4时，可得点P的坐标为（8，-5）.综上，点P的坐标为（-4，7）或（8，-5）.

二、等腰三角形，用好“两圆一线”

在一次函数的背景下，等腰三角形的存在性问题可以借助图形的基本性质来解，利用同端点、等长度作圆和线段垂直平分线.

例3 如图5所示，直线y=x+4与坐标轴交于点A和点B，在x轴上是否存在点P，使得△ABP为等腰三角形？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标.

思路分析 如图6所示，分别以点A和点B为圆心作圆，同时作出线段AB的垂直平分线，可得与x轴的4个交点：P1、P2、P3和P4.分别求解，可得其坐标分别为

P1（-4-42，0）、P2（0，0）、P3（42-4，0）、P4（4，0）.

三、直角三角形，利用顶点来分类

对于直角三角形的存在性，可以利用顶点来分类，然后结合具体条件求解.

例4 如图7所示，在平面直角坐标系xoy中， 三角板的直角顶点P的坐标为（2，2）， 一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B， 三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为直角三角形时，请求出所有满足条件的点B的坐标.

思路分析 分析题设条件可得，∠POA=45°，不可能为直角，△POA的另两个角可以是直角.如图8，当OA⊥AP时，可求出点B的坐标为（0，2）;如图9，当OP⊥PA时，点B和点O重合，点B坐标为（0，0）.综上所述，点B的坐标为（0，2）或（0，0）.

四、等腰直角三角形，借助弦图轻松解

等腰直角三角形的分类问题，可以在构造基本直角的情况下，借助弦图求解.

例5 如图10所示，直线y=-2x+4与坐标轴交于点A和点B，在第一象限内是否存在点P，使得△ABP为等腰直角三角形？

思路分析 由题设条件易得，A（2，0）、B（0，4），OA=2，OB=4.利用Rt△AOB作弦图，如图11所示，其中P1、P2、P3是满足条件的点.利用弦图中的全等三角形的性质，以及线段长与坐标的相互转化，可得三点的坐标分别为：P1（4，6）、P2（6，2）、P3（3，3）.

五、全等三角形，对应后综合求解

全等三角形的存在性问题，要注意好顶点的对应，然后借助多种基本方法解题.

例6 如图12所示，在平面直角坐标系中作矩形OABC，点B坐标为（4，8），将△ABC对折，使点A与点C重合，折痕交AB于点D，坐标系内是否存在点P（除点B外），使△APC与△ABC全等？若存在，直接写出符合条件的点P的坐标;若不存在，请说明理由.

思路分析 由题设条件易得点A与点C的坐标分别为（4，0）、（0，8），直线AC表达式为：y=-2x+8.由矩形性质可得△AOC△CBA，此时点P与点O重合，坐标为（0，0）.由翻折性质可得△ADB′△CDB′，此时，如图13，可以延长CP，过点A作CP⊥AP于点P，利用等面积法可得点P坐标为（325，165）.如图14，作△ABC关于直线AC的对称图形，此时，过点P作PQ⊥y轴于点Q，利用等面积法可得点P坐标为（-125，245）.  六、等距离轨迹问题，借助坐标轴三角形构造相似

在一次函数背景下的等距离轨迹问题，可以借助一次函数图像与坐标轴的交点，构造相似图形，求出点的坐标，进而找到点所在直线的表达式.

例7 如图15所示，直线y=2x+6与坐标轴分别交于点A和点B，在平面直角坐标系中是否存在一点，使得点P到直线AB的距离等于25，若存在，请求出点P所在轨迹的表达式;若不存在，请说明理由.

思路分析 到直线AB距离等于25的点的集合是与直线AB平行的两条直线.由题设条件易得，点A和点B的坐标分别为（-3，0）和（0，6）.如图16，过点B作直线AB的垂线l1，在直线l1上分别截取BP1=BP2=25，再分别过点P1和点P2作垂直于直线l1的直线l2和l3，直线l2和l3即为点P的轨迹.因为直线l2和l3与直线AB平行，要求其表达式，只要求出点P1和点P2的坐标即可，此时，过点P1作P1Q1⊥y轴于点Q1，则△P1Q1B∽△BOA，可得P1Q1=4，BQ1=2，可得点P1坐标为（4，4），可求出l2：y=2x-4.同理可求出l3：y=2x+16.

综上，解决一次函数的存在性问题，一定要研究好背景图形，调用基本技巧和方法，构图确定位置，画图解答.

  参考文献：

[1]王玉新.学好一次函数，善于梳理总结是关键[J] 数学学习与研究，2019（19）：135.

[2]王淑艳.一次函数解初中几何动点问题[J]理科爱好者，2019（4）：147.

[责任编辑：李 璟]