刍议现行估算教学中的“缺”与“补”

施小锋

摘要：估算的本质在于结合实际的背景对数量进行“估计、权衡和量度”。估算在生活消费中运用广泛、估算相较于精算优势显著、估算在解决问题中对于数学素养的形成意义深远，但是学生对估算并非主动出击而是被动应对，不是积极悦纳而是消极接受，经常出现“要我估算我才估算”的现象。本文试图通过“正视价值功效，补估算‘元气’”、“厚植教学策略，补估算‘朝气’”、“明确方法格式，补估算‘底气’”，三“补”三“气”，化解尴尬、破解疑难，引导并培养学生逐步形成良好的估算意识和估算能力。

关键词：估算;乘除法;解决问题;尴尬;破解;策略

一、问题缘起

这是最新改版作业本五上第一单元“小数乘法”P12单元综合练习上的最后一题。这道题考查的小数乘法的运用，两个分步的乘积中“学生的票价”笔算麻烦，需要估算，“教师的票价”可采用口算也可以采用估算，整个题目采用估算解答（下表中的策略3或策略4）比较简单。

那学生又会选择什么方法解答这个题目呢？我们对全校172名五年级学生进行了调查。统计结果如下：

因为是在学完了整个单元后进行的一次独立练习，因此反映的学生状况和能力水平相对比较客观、真实。172名学生中，只有45名同学选择用估算对真实需要的环节或步骤（学生票價部分）来解答，占比26.2%，其中只有35名同学过程和结论是正确的，总的正确率只有20.3%。

二、现状分析

为什么学生“不喜欢”、不擅长估算呢？通过访谈师生发现，没有选择估算主要有以下五个方面原因：

1.现行教材编排系统性的缺乏：人教版教材中，二下和三上都安排了“加法估算解决问题”，三上还安排了乘法估算解决问题，但将重点放在了“≈”的教学上。四年级没有安排估算教学，五年级安排了小数乘法估算。知识点零散，缺乏整体性;时间跨度长，缺乏统一 表征格式。

2.估算解题自身优越性的缺憾：估算会出现多种不同的结果，这就要顾及结果是否合理、说理是否有力，若不合理或缺乏说服力，则需要进行调整。学生嫌“难学”，步骤多、说理繁、要绕弯，不如精算来得直接。

3.学生对解题能力储备的缺漏：学生对单一的指令性的计算估算会，但要运用于实际问题情境中，显得茫然，既没有心理准备，也没有能力储备。在估算能力不是很强的情况下，会觉得信不足而选择更为保险的“精算”。

4.教师对估算价值认识的缺位：精算固然重要，但是在旅游、购物、行程等实际运用中，估算的选择更为广泛。教学中，教师多是被动的接受，大多是看到“大约”“估计”等词以后才引导学生用估算，很少主动出击，弱化了“估算”该有的功能和价值。

5.传统估算教学中方法的缺失：估算需要借助一定的数学语言、符号等进行有条理地表达和有依据的推理。学生和老师普遍认为估算中缺少了一些约定的格式和统一的要求，表征难度大，可以借鉴和参照的资料太少。

估算在现有研究文献中，比较多的是按照操作任务的差异划分为三类：测量估算、数量估算和计算估算。本文主要就“计算估算”在乘除法解决问题运用中进行展开，后面文中都简称为“估算”。

估算，是相对精算而言的一种运算。从现实来看，估算能力是现代化社会生活中的“必需品”;从新课程标准来看，估算能力也已然成为运算技能和能力的“必备品”。

一方面估算“十分重要”、“百分功效”，而另一方面却是教师对估算“十足不想”教、学生对估算“百般不愿”用。如何化解这种尴尬境遇，如何破解估算教学中的“冰火两从天”？教师不妨从以下“三补”入手。

三、破解策略

（一）正视价值功效，补估算“元气”

1.转变观念，挖掘估算价值

估算不仅仅是单纯的数学知识和简单的计算方法，它对于培养学生的数感、直觉思维、推理能力，增强运用意识、认识事物的整体感觉，提高他们的观察、处理解决实际问题能力等有着积极、深远的意义。

教师要充分挖掘生活案例，引导学生感受估算的重要性和运用的广泛性。课堂上，通过观察、判断、比较、推理等认知活动，引导学生获得概括性的结果，从而形成对数量关系或空间形式的全局化、整体性把握，既培养了估算能力，也训练了思维、发展了智力;课堂上，组织学生交流各自的估算方法，比较各自估算的结果，从而发展出形式各异的估算方法和技巧。

2.适时介入，体现估算优势

（1）在顺意时凸显优越：教师可以设计连线、选择等可以进行精算完成也可以通过估算完成的题目，引导学生进行比赛。

如，在学完了小数乘除法后，我出了这样一组连线题：把这些篮球分别投进对应的篮筐中，并且说说你的方法。

像这样“半开放式”题型的设计和练习，如果选择估算，就能既对又快地找到对应的篮筐，学生将充分感受到估算带来的优越感。

（2）在迷茫时绝处逢生：在完成上面四个篮球的“投篮”后，出示：

“篮球3.2×9.□8”，应该投进下面（ ）个“篮框”中？

A.31.364 B.28.386 C.31.296 D.32.496

如果学生能通过精算完成时，他们会觉得至少还有“保底”。但当数据不齐而精算“断路”时，学生必然“背水一战”、另辟蹊径，这时估算的闪亮登场才是最渴望和最有生命力的。

（二）厚植教学策略，补估算“朝气”

1.对比，拓估算宽度，显估算方法的灵活性

（1）相同数据，不同处理方式的对比

232÷5，232÷8，232÷7，232÷11，都是232除以一个数，引导学生比较怎么估算。232÷5≈250÷5，232÷8≈240÷8，232÷7≈210÷7，232÷11≈220÷11。为什么同样是数据232，“估成”的数完全不一样？引导学生估算应“先估后算”，估算中的两个很重要的要素是“计算方便”、“尽量接近”。然后教师追问：那除数是多少时，我们才把232看成230？（除以23，或者除以10时）。

在计算小数乘法估算，12.8乘以一个数时，另一个因数不同，12.8看成的数也不尽相同。当12.8乘以一般的数时可以估成13或10再计算;12.8乘以8时，把12.8估12.5比较好，方便且接近。

（2）相同情境，不同问题要求的对比

体育组要买一批跳绳，每根2.65元，五年级172人每人一根。

①购物前思考，准备600元钱够不够？（“估大法”）

②购物满400元可送护腕，能否赠送护腕？（“估小法”）

③付款时思考，大约需要多少元？（“四舍五入法”）

④收银员收款，一共需要付多少元？（精算）

通过对相同数据在不同算式中的对比、相同情境中不同问题的对比，引导学生明白估算的方法是灵活的、开放的，只有“高瞻远瞩”、方法了然于胸，才能根据数据特点或结合问题要求，灵活选择估算的方法。

2.联系，增估算厚度，显估算过程的融通性

（1）依托现实情境

情境架起了抽象的数学知识和具象的儿童思维之间的桥梁和纽带。很多时候，估算只有镶嵌在实际情境之中，才能显现出估算的价值和作用，并在不同的情境中加以比较。

①胜利小学有28个班，平均每班32人，共有980个座位的影院，能坐下吗？

②加工车间要进28箱零件，每箱重32千克。一辆核定载重800千克的小车一次运走会超载吗？

比较得出，同样的式子28×32，在不同的情景中，处理是不一样的。

第一题，估大法：28×32≈30×32=960（估大了），比980小，坐得下;

第二题，估小法：28×32≈28×30=840（估小了），比800大，超载了。

让学生在不同教学情境中尝试使用估算，可不断增强学生估算的适切性和变通性。让抽象与具象 “呼应”，让感性和理性“中和”。

（2）贯通联系四算

估算与口算、笔算、简算之间具有密切的内在联系，教学中需要将他们有机渗透、相互融合，不可人为割裂。

①事先想一想：面对问题解决，首先要观察并判断是否需要精确计算，如果要，才是考虑是用什么方法计算（口算、笔算）？如果不必精算，考虑如何进行估算或四舍五入，如何进行事实说明和结论阐述。

②算前估一估：当学生确定了具体算法（笔算）后，先引导学生对计算结果进行估计，对结果有大致的了解和预判，这样既有利于培养学生良好的数感，培养数据的分析和处理能力。

③最后比一比：当学生计算出精确结果后，再与之前估计的结果进行对照，引导学生比较是估大了，还是估小了！出现偏差的原因是什么？这样的指令和针对性地训练多次重复进行，势必能提高学生的思辨能力，提高对运算的整体把握能力，也必将提高计算的正确率。

（3）合理解释误差

上题中题目改成：胜利小学有28个班，平均每班32人，“恒达影城”共有900个座位，能坐下吗？

学生一般有下面几种方法：

方法一：32×28≈32×30=960（估大了），比900大，坐得下;

方法二：32×28≈30×28=840（估小了），比900小，坐不下;

方法三：32×28≈30×30=900，一个估大2一个估小2，抵消，刚好能坐下。

方法四：32×28=896（精算）<900。

學生比较纳闷，一个题目多种方法，结论还都相互“打架”。如果说方法一和方法二由于估大和估小，可以得到准确值在840和960之间，不好比较可以理解！但是方法三，一个估大2，一个估小2，为什么误差不正好抵消呢！此时，教师可以出示矩形图来帮助理解误差。

如何发挥估算的育人价值，需要每一位教学工作者转变自己的观念与价值取向，在日常的教学中有效渗透、有机结合。这样，估算才会展现出它该有的姿态。

3.改变，强估算效度，显习题编拟的人文性

（1）变封闭唯一为开放多元

文中一开始讲述作业中的“120元是否够”这个题目，可以改编成：教师2名，票价5.□元，学生35名，票价2.8元，带120元钱是否够？当然，题目还可以再开放：5.□×2+2.□×35，引导学生比较120元是否够，这就能完美避开“大多数选择精算而很少人选择估算的尴尬”。

（2）变顺向思维为逆向思维

502×（ ）≈3000 6391÷（ ）≈8 □×2+2.9×35（>）120，方框中最小是多少？

通过开放多元、逆向思考的习题练习，对培养学生的逆向思维和发散思维，思维的灵活性和缜密性大有裨益。

（三）明确方法格式，补估算“底气”

笔者根据估算在解决实际问题时问题的类型和要求，把估算分为结果计算型和推理说明型两类。

1.结果计算型估算，加强方法指导

结果计算型估算重在得到近似结果，可用四舍五入将参与计算的数看成和它接近的整十（整百）数，或看成方便计算的“特殊数”进行估算。

（1）就近性取整估算：就近取整估算是教材中比较强调的一种估算方法，是运用最广泛也是最有用、有效的策略。取整包括取整十数、整百数、整千数，小数主要是取整数或取比原小数位数少一位或少几位的近似小数。

（2）简洁性口诀估算：简洁性口诀估算，就是在充分考虑数据特点情况下，直接利用乘法口诀去估算结果。在乘法和除法中运用较为常见。

（3）引入中间量估算：引入中间量往往用于结果的大小比较中。如比较4÷7和11÷23时，可以引入中间量0.5，4比7大的一半大，而11不到23的一半，故填大于。

（4）分小数互化估算：在计算小数乘除法时，很多时候把小数转化成接近的分数进行计算，会出现意想不到的简便效果。

如：437×0.76大约是多少时，最简便的也是最优的方法为：437×0.76≈440×=330。

2.结果比较型估算，规范书写要求

结果比较型估算既要估算结果，更要表达结果推理的过程。在解决实际问题中需要借助一定的数学语言、数学符号进行“有条有理”的表达、“有根有据”的说理。具体的书写格式可以概括为“估、想、比、答”四个步骤。以开头作业本上的题目为例：

估：2.8×35+5.8×2≈3×35+6×2=117（元）

想：2.8<3，5.8<6，结果估大了

比：117<120

答：120元够了。

估算方法的渗透和引导、书写格式的规定和统一，有利于教师在教学中有“章”可循、有“法”可依。规范的书写格式能帮助孩子形成缜密的思维、严谨的表达。

四、理性思辨

1.关键核心相通：测量的估算（如校园总长度的估测）、数量的估算（大数的估算，如一袋大豆的大概数量，一天水龙头漏水多少千克等），其实在本质上同计算的估算有很多相通之处的，都是灵活选择和确定合适的比较量或单位量（计量单位、计数单位），取近似值或取值范圍，巧妙计算里面有多少个比较量或单位量，综合运用、分析结果的过程。

2.估算变化繁多：估算教学中，前后两数只估一个，比较容易说出是估大了还是估小了。但两个量都估，一个估大一个估小，估算值是偏大了还是偏小了，难以判断，结果也就难以取舍。

3.适时感受局限：估算是一个综合性很强的内容，还是再来说开头讲的作业本上的题目，如果有同学用“2.8×35+5.8×2≈2.8×40+6×2=112+12=124，比120元大了”来进行判断的话，就需要调整估的过程和结果，使学生理解估算的局限性和特殊性。

五、结语

教学中，教师通过适时“补气”，在后面的练习和运用中接受、认可并喜欢估算的同学越来越多。在一次次的估算中，学生通过观察、比较、判断、推理，对数感的形成、意识的增强、方法的把握、过程的完善、结果的判断有了明显的提升。“破解策略”的运用为学生数学素养的发展插上了展翅高飞的翅膀。

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