二次函数“升级”

赵芬芬

中图分类号：G4 文献标识码：A

二次函数作为一种简单而基本的函数类型，不论在初中教学还是高中教学中，都是重点内容，也是中考，高考的重要考点，同时也是初高中具体数学内容中联系最密切的内容。

一、案例描述

在不同历史阶段，学习依然是学校教育的主旋律，也就是让学生在学校中学会学习，为了让学生从初中阶段顺利进入到高中阶段学习，需要教师深入分析初高中教学衔接策略，为九年级数学教学提供借鉴策略，为学生们进入到高中学习打好基础，从而实现初高中数学教学衔接。在本文中则针对《二次函数》进行详细分析，深入探究初高中衔接教学策略，让学生们理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式，从而为高中函数相关知识的学习奠定基础。

二、案例片断

老师：同学们，老师知道大家非常喜欢打篮球，那么大家在投篮的时候，是否认真观察过篮球运动的路线呢，如果篮球运动呈现曲线，那么我们应该如何计算篮球所达到的最高点的高度呢？其实老师所提出的问题可以利用我们今天要学习的二次函数相关知识进行解决，让我们一起走进二次函数，共同探索二次函数的概念以及形式吧。

【设计意图】在本环节中，引出学生日常生活中常见的打篮球运动，吸引学生的兴趣，之后顺势引出本节课主要教学内容–––––二次函数。

老师：大家继续观看大屏幕，学会运用适当函数式表示x和y之间的关系式。

具体例题见教学设计：（1）（2）（3）

组织学生们以小组的形式进行探讨，并获得了如下函数式：

1、y =πx2

2、y = 20000（1+x）2= 20000x2+40000x+20000

3、y= （60- x-4）（x-2）=-x2+58x-112

老师：大家共同分析一下，上述的三个函数式之间有着怎样的相同点呢？

学生：每个函数中第一个x上面都有平方。

老师：上述三个函数式在经过化简之后都会变成如下形式：y=ax2+bx+ c，其中（a，b，c都为常数而a≠0）这样的函数式称之为二次函数，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

老师：大家结合老师所讲解的函数概念，说出上述三个函数式中的二次项系数、一次项系数以及常数项。

学生1：第一个二次函数式子中，π为二次项系数，一次项系数和常数项均为0。

学生2：第二个二次函数式子中，20000为二次项系数，40000为一次项系数，20000为常数项。

学生3：第三个二次函数式子中，-1为二次项系数，58为一次项系数，112为常数项。

【设计意图】在本环节中，主要围绕二次函数概念以及特征展开详细分析，帮助学生们理解二次函数相关知识，为学生后续数学知识学习做好铺垫。

三、教学反思

1、悬疑导入数学新知识，落实初高中衔接关键点

当学生们对于数学知识产生疑问的时候，便会产生学习动力，同时对于新问题的好奇心，则会伴随学生们进入到课堂学习环节中，引领学生们带着问题进行深入学习与探究，并始终专注于课堂学习环节中，比如在二次函数教学导入环节中，老师為学生们呈现打篮球的生活场景，并提出问题，如何才能计算篮球的最高点，鼓励学生们针对问题进行思考，并顺势引出二次函数的概念，在具体参与性学习中，积极深入二次函数学习中去。

2、教学环节关注师生互动，践行初高中衔接环节

在数学课堂上学生是学习活动的主体，教师在课堂中起到引导性作用，同时学会关注数学课堂环节中的预设生成，预设实际上是数学教师对于一节课学习活动的预设环节，是进行的预想，而生成则是数学课堂教学的实际环节，也就是要求数学教师在教学中学会正确处理两者之间的关系，在具体生成环节中，关注新的数学教学资源的出现，并对学生进行合理性引导，有效培养学生数学思维能力。

本节课完整的教学设计：

1、教学目标

（1）注重情景创设，让学生们经历探索以及分析获得两个变量之间二次函数基本过程，学会利用两个不同变量描述具体数量关系。

（2）理解与掌握二次函数的概念，初步了解二次函数的形式。

（3）学会建立二次函数简单模型，善于结合实际情况求出二次函数取值范围。

2、教学重难点

（1）重点：掌握二次函数基本概念。

（2）难点：学会建立二次函数简单模型，求出二次函数取值范围。

3、教学过程

（1）情景导入

老师：关于投篮动作，相信每一位同学都非常激动吧，那么投篮的运动曲线是怎样的呢，我们如何才能够计算出投篮最高的高度呢？

【设计意图】在导入环节中，为学生们呈现生活中常见的投篮运动，并引领学生们思考投篮运动最高点计算方法，从而顺利引出二次函数相关知识。

（2）具体探究

老师借助大屏幕为学生们呈现具体数学例题，让学生们在计算中学会利用适当的函数关系式具体体现例题中所出现的两个变量之间的关系。

例题具体如下：

（1）面积y （cm）与圆的半径x （cm）.

（2）王先生存入银行2万元，先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期，设一年定期的年存款利率为x，两年后王先生共得本息 y元.

（3）拟建中的一个温室的平面图如图，如果温室外围是一个矩形，周长为 12Om，室内通道的尺寸如图，设一条边长为x （m）种植面积为y （m2）.

鼓励学生们针对上述例题发表自己的想法。

老师：同学们，我们将y=ax2+bx+c 这样的函数称之为二次函数，其中a为二次项系数，b为一次项系数，c为常数项。

老师：大家共同做一做，结合上述例题中的函数式进行分析，并说出二次函数中的二次项系数、一次项系数以及常数项。

【设计意图】详细讲解二次函数相关知识，帮助学生们明确二次函数概念。

（3）例题解析

老师：对于二次函数相信大家已经了解的差不多了，那么接下来，我们一起探究下列相关例题吧。例题呈现如下：

例1、已知二次函数y=x2+ px +q当x=1时，函数值是4﹔当x=2时，函数值是-5.求这个二次函数的解析式.

例2、如图，一张正方形纸板的边长为2cm，将它剪去4个全等的直角三角形（图中阴影部分）.设AE=BF=CG=DH=x（cm），四边形EFGH的面积为y（cm2），求：

（1）y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.

（2）当x分别为0.25，0.5，1.5，1.75时，对应的四边形EFGH的面积，并列表表示.

老师：第一个例题反映了我们求二次函数解析式的一般方法，相信大家已经了解了其计算方法，老师为大家写出具体解析过程。

老师：第二个例题中的第一小问，则具体采取求差法以及直接法，第二小问中，我们在观察表格中的数据，可以了解所对应的x和y的数值对应关系式以及内在规律性。大家猜想一下它们存在怎样的规律呢？

【设计意图】

在讲解完成二次函数相关知识之后，让学生们进行探索，在实际问题中提升学生们数学思维能力，为学生们进入到高中继续学习数学知识做好铺垫。