全称量词与存在量词在高考中的运用

刘兆云

摘 要：量词在新高考刚执行时，是一个新的内容.常见的题型就是写出含有量词的命题的否定形式，量词也可以与函数的最值及值域相结合，求参数的范围，此类问题往往与导数息息相关.关键词：量词;命题的否定;量词与函数最值的综合应用

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）04-0003-02

全称量词与存在量词在最近的高考試题中频繁出现，量词作为一种工具显得越来越重要.下面我们一起看看在高考中以什么样的形式来考查“全称量词与存在量词”这一知识点.

一、量词在命题中的应用

例1 （2009年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（理工农医类））命题“存在x0∈R， 2x0≤0”的否定是（）.

A.不存在x0∈R， 2x0>0 B.存在x0∈R， 2x0≥0

C.对任意的x∈R， 2x≤0D.对任意的x∈R， 2x>0

解析 对含有一个量词的命题进行否定时，不仅要对量词进行否定，而且对后面的结论也要进行否定.本题“存在x0∈R”的否定是“任意的x∈R”，同时“2x0≤0”的否定是“2x>0”，故本题应该选择D.本题容易误选A，我们可以通过命题的真假来辨析，2x0>0 恒成立，即原命题：“存在x0∈R， 2x0≤0”是假命题;所以它的否定是真命题，而命题：“不存在x0∈R， 2x0>0”也是一个假命题.所以选项A是错误的.

评注 含有一个量词的命题的否定形式：一般有下面两种情况：

①“x∈M，p（x）”的否定为“x∈M，p（x）”;

②“x∈M，p（x）” 的否定为“x∈M，p（x）”.

常用的正面词语与它的否定词语归纳如下：正面词语分别为：等于;大于;小于;是;都是;都不是;相应的否定词语分别是：不等于;不大于;不小于;不是;不都是;至少有一个是.

正面词语分别为：至多有一;至少有一;任意的;所有的;至多有n个;任意两个;相应的否定词语分别是：至少有两个;一个也没有;存在的某些;至少有n+1个;某两个.

例2 （2009年普通高等学校招生全国统一考试数学（文科））若函数f（x）=x2+ax（a∈R），则下列结论正确的是（）.

A.a∈R，f（x）在（0，+SymboleB@）上是增函数

B.a∈R，f（x）在（0，+SymboleB@）上是减函数

C.a∈R，f（x）是偶函数

D.a∈R，f（x）是奇函数

解析 当a=0时，f（x）=x2是偶函数，即：a∈R，f（x）是偶函数，所以选择C.

例3 （2009年普通高等学校招生全国统一考试（宁夏卷）数学（理工农医类））有四个关于三角函数的命题：

p1：x∈R， sin2x2+cos2x2=12

p2： x、y∈R， sin（x-y）=sinx-siny

p3： x∈0，π，1-cos2x2=sinx

p4： sinx=cosyx+y=π2

其中假命题的是（）.

A.p1，p4 B.p2，p4 C.p1，p3 4.p2，p4

解析∵sin2x2+cos2x2=1∴不存在x∈R， sin2x2+cos2x2=12，即p1是假命题;

∵当y=0时，sin（x-y）=sinx，sinx-siny= sinx，∴x、y∈R， sin（x-y）=sinx-siny，即p2是真命题;

∵1-cos2x2=1-1-2sin2x2=sin2x，∴x∈0，π，1-cos2x2=sinx恒成立，即p3是真命题;

∵当x=π，y=π2时， sinx=cosy=0，此时x+y=3π2≠π2，即p4是假命题;

故本题选择A.

评注 例2和例3都是要求理解“”和“”的含义;往往对于存在性问题只要找到一个满足题意的解即可;而对于任意性（恒成立）问题要说明它是真命题需要证明，而判断它是假命题时，只需要找到一个解说明原命题不正确就行.

二、量词在函数问题中的应用

例4 （2007年普通高等学校招生全国统一考试（安徽卷）数 学（理科））若对任意x∈R，不等式x≥ax恒成立，则实数a的取值范围是（ ）.

A.a<-1 B.a≤1 C.a<1 D.a≥1

解析 对于含有绝对值的问题，不妨先考虑去掉绝对值.

①当x>0时，∴x≥ax，即x（1-a）≥0，∴1≥a;

②当x=0时，∴0≥0恒成立，此时a∈R;

③当x<0时，∴-x≥ax，即x（1+a）≤0，a≥-1.

由于对任意x∈R，不等式x≥ax恒成立，即a≤1.

评注 分类讨论时需分清何时取并集、何时取交集、何时只能分开写.

例5 （2008年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类））设a>1，若对于任意的x∈a，2a，都有y∈[a，a2]满足方程logax+logay=3，这时a的取值的集合为（）.

A.a1<a≤2 B.aa≥2

C.a2≤a≤3 D.2，3

解析 对于任意的x∈a，2a，方程logax+logay=3都有y∈[a，a2]，不妨用x表示y，得到y关于x的一个函数，该函数的值域是[a，a2]的子集，才能保证一定有y∈[a，a2].

∵logax+logay=3，

∴loga（xy）=logaa3，即y=a3x.

∵a>1>0，∴函数y=a3x在a，2a上单调递减;∴y∈[a22，a2].∵[a22，a2][a，a2]，∴a22≥a，∵a>1，∴a≥2.

评注 常见的全称量词是指：所有的、一切、任意一个、每一个、任给等;常见的存在性量词是指：存在一个、至少有一个、某个、有的、有些等.要搞清楚题目中到底是恒成立问题还是有解（存在性）问题.

例6 （2007年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学（文史类））设f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2，若對任意的x∈t，t+2，不等式f（x+t）≥2f（x）恒成立，则实数t的取值范围是（ ）.

A.2，+SymboleB@B.2，+SymboleB@

C.0，2D.-2，-1∪2，0

解析 所给区间是变化的、所给函数也不是一个解析式，如果还像上题分类讨论显得无从下手.本题2f（x）=f（2x），这样可以利用函数的单调性，得到x+t与2x的关系.

∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f（x）=x2.

∴f（x）=x2（x≥0）-x2（x<0），即f（x）在R上单调递增.

∵2f（x）=f（2x），∴f（x+t）≥f（2x） 即x+t≥2x恒成立，

∴t≥（2-1）x恒成立，∵函数（2-1）x在x∈t，t+2上单调递增，

∴（2-1）x在x∈t，t+2上的最大值是（2-1）（t+2），

∴t≥（2-1）（t+2）恒成立，∴（2-2）t≥2（2-1），即：t≥2，所以选A.

评注 在解决含有参数的不等关系时，常采用分离变量的方法，将条件转化为所求量与某个函数的不等关系.如：“t<f（x）”（t>f（x）），若对于给定区间中的任意x原不等式恒成立，则t比f（x）的最小值小（t比f（x）的最大值大）就能保证原不等关系恒成立;而对于给定区间，则t比f（x）的最大值小（t比f（x）的最小值大）就能保证原不等式有解.

参考文献：

[1]蒋寿荣.新高考试卷中的全称量词和存在量词[J].数学通讯，2009（05）：38.

[2]何豪明.全称量词表示的恒成立问题与存在量词表示的存在问题[J].中学生数学，2009（08）：37.

[责任编辑：李 璟]