例谈高考函数与导数类压轴题巧妙解法

侯思路

摘 要：函数与导数是历年高考命题的必考内容，而且题目形式新颖，设计巧妙，对学生的数学思维能力有较高要求，考查了学生对数学解题思想方法的掌握.它也是高中数学教学的难点和重点，只要抓住该类题型的本质，掌握其解题规律，无论其命题思路和形式再怎么变化，都可以有效破解.

关键词：函数与导数;高中数学;高考题型

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）10-0024-02

函数与导数是高中数学的重点内容，在高考试卷中分值约占22～27分，函数与导数知识在高考试卷中多以压轴题的形式出现，它也是高中数学中的难点内容，能否突破函数与导数题是高考得高分的关键.下面结合高中数学教学实践，例谈破解高考函数与导数压轴题的小妙招.

一、利用导数研究函数的单调性、极值与最值

利用导数研究函数的性质是高考命题的常见形式，每年高考命题中都会有所涉及.常见的命题形式包括：

1.判断函数f（x）的单调性或单调区间;

2.求函数f（x）的最值;

3.已知函数的单调区间、最值求参数的值.

典型例题 已经函数f（x）=ax，g（x）=lnx.

（1）若函数F（x）=f（x）-g（x）有极值-1，求实数a的值;

（2）若函数G（x）=f[sin（1-x）+g（x）]在区间（0，1）上为增函数，求实数a的取值范围.

思路分析 （1）求函数F（x）的解析式，并求导，对实数a进行分类讨论，判断F′（x）的符号，利用函数F（x）有极植-1，求出关于参数a的方程，解方程，求出实数a的值;

（2）求函数G（x）的解析式，并求导，由函数G（x）在区间（0，1）上为增函数转化为G’（x）≥0对x∈（0，1）恒成立，再将恒成立问题转化为求参数的取值范围问题，从而求出实数a的取值范围.

解析 （1）因为f（x）=ax，g（x）=lnx且F（x）=f（x）-g（x），所以F（x）=ax-lnx（x>0），

所以F′（x）=a-1x（x>0），当a≤0时，F′（x）<0，函数F（x）在（0，+SymboleB@）上单调递减，函数F′（x）无极值，不符合题意.

当a>0时，由F′（x）<0x>0，得0<x<1a;

由F′（x）>0x>0，得x>1a，所以，函数F（x）在（0，1a）上单调递减，在（1a，+SymboleB@）上单调递增，因为函数F（x）有极值-1，

所以F（1a）=1-ln1a=-1，故a=e-2.（2）因为f（x）=ax，g（x）=lnx，且G（x）=f[sin（1-x）]+g（x），

所以G（x）=asin（1-x）+lnx，

所以G′（x）=-acos（1-x）+1x.

由题意可得，G′（x）=-acos（1-x）+1x≥0对x∈（0，1）恒成立，

记h（x）=1xcos（1-x）（0<x<1），则h′（x）=-cos（1-x）+xsin（1-x）[xcos（1-x）]2<0，

所以h（x）在（0，1）上单调递减，所以h（x）>h（1）=1，所以a≤1，所以实数a的取值范围是（-SymboleB@，1].

破题策略 本题设计意在考查分类讨论和方程思想，检验学生的化归与转化能力和运算求解能力.破题关键：（1）方程思想，即对于含有参数的可导函数有极值的关键是对参数进行分类讨论，并寻找其导数为零的根，以及在根的左、右两侧导数的符号;

（2）转化思想，即可导函数f（x）在某个区间D内单调递增（或递减），则有f ′（x）≥0或f ′（x）≤0在区间D内恒成立，由此，将求函数的单调性转化为恒成立问题.

二、函数、导数与零点相交汇

函数、导数与函数的零点（方程的根）相交汇的考题在近年的高考中经常出现，命题考查形式：

1.判断函数的零点的个数问题;

2.已知函数在给定区间的零点（方程在给定区间的解）的情况，求参数的取值范围或证明不等式成立.

典型例题 已知函数f（x）=ex-x-m（m∈R）.

（1）判断函数f（x）的零点个数，并说明理由;（2）若函数f（x）有两个零点x1，x2，证明：x1+x2<0.

思路分析 （1） 求f ′（x），判断函数f（x）的单调性，得最小值，并对函数f（x）的最小值进行分类讨论，

即可判断函数f（x）的零点个数;

（2）不妨设x1<x2，欲证x1+x2<0，只需证x1<-x2，判断f（x1）-f（x2）的符号，并判断函数f（x）的单调性，即可得证.

解析 （1）f ′（x）=ex-1，令f ′（x）<0，得x<0;

令f ′（x）>0，得x>0，所以，函数f（x）的单调递减区间为（-SymboleB@，0），单调递增区间为（0，+SymboleB@），故当x=0时，函数f（x）取得最小值f（0）=1-m.

当1-m>0，即m<1时，函数f（x）没有零点.当1-m=0时，即m=1时，函数f（x）有一个零点.

当1-m<0时，即m>1时，构造函数g（x）=ex-2x（x≥1），则g′（x）=ex-2，

当x∈[1，+SymboleB@）时，g′（x）>0，所以，函数g（x）在[1，+SymboleB@）

上单调递增，所以g（x）≥g（1）=e-2>0，因為m>1，所以g（m）=em-2m>0，又f（m）=em-2m（m>1），故f（m）>0.

又f（-m）=e-m>0，所以必存在唯一的x1∈（-m，0），唯一的x2∈（0，m），

使得x1，x2为函数f（x）的两个零点.故当m>1时，f（x）有两个零点.

（2） 若x1，x2为f（x）的两个零点，设x1<x2，则由（1）知x1<0，x2>0.

因为f（x1）-f（-x2）=f（x2）-f（-x2）=（ex2-x2-m）-（e-x2+x2-m）

=ex2-e-x2-2x2.

令φ（x）=ex-e-x-2x（x≥0），则φ′（x）=ex+1ex-2≥2ex·1ex-2=0，所以，φ（x）在[0，+SymboleB@）上单调递增，因此φ（x）≥φ（0）=0.

又x1<0<x2，所以φ（x2）>0，即ex2-e-x2-2x2>0，故f（x1）>f（-x2），又x1<0，-x2<0，且由（1）知f（x）在（-SymboleB@，0）上單调递减，所以x1<-x2，所以x1+x2<0.

破题策略 本题重在检验考生的推理能力、运算能力和创新思维.破解此类题型的关键是：

（1）牢固掌握函数、函数与导数相关知识，熟练运用导数法求函数单调性、最值.

（2）转化思想是解决函数类题目的重要途径，将判断函数零点个数问题转化为求函数求最值问题.

（3）通过构造函数，将比较大小问题转化为函数的单调性问题.

总之，关于导数与函数的压轴题类型很多，而且每年的命题角度都会有所不同，对学生的逻辑思维能力有较高的要求.但是，只要我们掌握了基本的数学解题思想，注重积累和反思，对“函数与导数类”压轴题常见类型心中有数，把握其实质，掌握其规律，规范其步骤，做到“胸中有法”，那么不论高考“函数与导数类”压轴题的构思多么新颖，我们都能做到以不变应万变，此类压轴题就能迎刃而解.

参考文献：

[1]赵承东.高中数学教学中学生发散思维的培养 [J].基础教育研究，2019（10）：20-22.

[2]骈吉军.中学数学课程教学的有效策略 [J].中学教学参考，2018（11）：8-10.

[责任编辑：李 璟]