借助数学文化 渗透“化曲为直”数学思想

卢志明 邓冰

摘要：“圆的周长”是以长方形、正方形周长知识为认知基础的，是前面学习“圆的认识”的深化，是后面学习“圆的面积”等知识的基础，引导学生猜测圆的周长与直径的倍数数量关系，学生根据对测量圆周长活动过程的理解，通过小组合作、测量、计算等操作活动，表明了“化曲为直”思想在数学教学中有不可忽视的作用。本文探讨了如何在“圆周的周长”教学的各个环节渗透数形结合思想，旨在为小学数学文化教学提供一些新的视角。

关键词：“化曲为直”思想;圆周的周长;教学设计

圆的周长与直径之比是个与圆的大小无关的一个常数，人们称之为圆周率。巴比伦人最早发现了圆周率。古埃及、古希腊人曾用谷粒摆在圆形上，以数粒数与方形对比的方法取得数值。用匀重木板锯成圆形和方形以秤量对比取值……由此，得到圆周率的稍好些的值是中国传统数学文化代表之一，在教学中，为了让学生更深层次地 领悟知识、感悟数形结合的思想，教师可以借助数学文化把数形结合思想融入各个教学环节中。

一、在教學渗透数形结合思想的“圆周的周长”教学设计

（一）教材分析

“圆周的周长”是人教版数学教材六年级上册的内容，学生已经初步掌握探究周长与直径的关系，加强动手操作，培养学生自主探索能力，让学生动手操作，通过画一画、剪一剪、围一围等多种方式求圆的周长。即通过测量不同大小的圆的周长和直径，计算出周长和直径的比值，发现比值是一个固定值，从而引出圆周率的概念，并总结出圆的周长计算公式。教师可以结合六年级学生具有较强的好奇心和求知欲的特点，在教学中分层、分阶段地渗透数形结合的思想。教师可以借助数学文化载体，对定义的由来、探索证明方法、应用过程中渗透数形结合思想进行设计，由正方形周长的概念类比推出圆周长的概念，较好地促进了知识的迁移。为圆的周长的测量用了几种不同的方法，共同之处是化曲为直，有意识地渗透了化归思想。

（二）教学目标

（1）知道圆的周长和圆周率的含义，理解并掌握圆的周长计算公式，能正确计算圆的周长。

（2）培养学生的小组合作学习的能力和动手实践、观察、比较和概括的能力，发展空间观念，感受到数学中的美。

（3）介绍祖冲之在圆周率方面的成就，渗透爱国思想和数学文化。

（三）教学重点、难点

教学重点：探索圆的周长的推导过程。 教学难点：运用数形结合的思想圆周率和计算圆的周长。

（四）教学过程

【第一环节】实践操作，提出猜想，导入课题

1. 小组合作，感知数与形之间的奥秘课前准备

出示长方形，正方形，提问：长方形，正方形的周长在哪？动手指一指。

师：那什么叫做图形的周长？

生：封闭图形一周的长度，叫做图形的周长。

2. 出示圆，提问：圆的周长在哪？动手指一指。

师：那什么叫圆的周长？

生回答后师小结：围成圆的曲线的长叫做圆的周长

继续提问：它们之间到底有什么的关系呢？

数学文化教育：我国古代有一位伟大的数学家和文学家祖冲之就发现了圆的周长与它的直径之间的关系，这个发现是在1500年前。今天我们各位同学也当一回科学家，进行一次研究，来发现圆周长与直径之间到底有什么关系。

（2）、动手实验：（四人一组，合作完成）（一组测一个）

a、取出圆形纸板，量出圆形纸板的直径。

b、用绳子绕圆形纸板一周，绕圆一周的绳子长度，就是这个圆形的周长，然后测出绳子长度。

思考：你发现了什么规律？ 预设：学生发现规律较困难时，观察表中数据，说一说你有什么发现？（四人一组，共同讨论，）

小组汇报：同一个圆，它的周长是它的直径的3倍多一些。

【第二环节】探索新知，验证定理，证明结论

1. 借助祖冲之的圆周率数学文化，再现发现定理的过程教师出示PPT展示任务：（1）让学生拿出课前准备的圆形教具;（2）让学生分组进行拼图，并鼓励学生在操作过程中大胆尝试各种拼法。

2.学生自主探究测量圆的周长

师：有什么方法可以测量你手中小圆片的周长的？想一想？ 学生汇报，教师指正。

A：用一根绳子，绕圆一周，去掉多余部分，再拉直量出它的长度，这就是圆的周长。

B：在圆上做一个记号，让这个记号在直尺上滚动一周，滚动的距离就是圆的周长。

师：用这两种方法可以测量手中圆的周长，那现在老师想知道学校圆形跑道的周长还以用滚动法吗？（不可以）用绳测法方便吗？（不方便）接下来我们就来寻找一种更简便的方法。

2、 探究圆周长的计算公式

（1） 课件出示（四个不同直径的同心圆）

师：圆的周长和什么有关呢？请你仔细观察，说说你的发现。

多名学生回答后师：圆的周长和它的直径有关，直径越大，这个圆的周长就越大。

（2） 探究圆的周长和直径的数量关系

师：圆的周长与它的直径存在什么样的数量关系呢？请同学们拿出课前准备的3个小圆，进行测量，要求小组合作。（板书：圆的周长÷直径）

学生小组合作进行测量，计算，教师巡视并参与其中。学生汇报数据，完成表格

师：仔细观察这个表格，你有什么发现？

生：我发现圆的周长是直径的3倍多一点。

生：我发现圆的周长是直径的4倍少一些。

（3） 介绍圆周率，及祖冲之。

（4）推导公式

用字母π表示。

板书： =π  或  圆周长：它的直径=π

（①让学生读一读（Pài）写一写。②了解π的值。

A、π是一个无限不循环小数，π=3.1415926535..........

B、在实际应用中一般只取它的近似值，即π≈3.14.

（5）公式推导：

师：圆的周长÷直径=圆周率。那圆的周长等于什么？

生：圆的周长=直径×圆周率

师：用字母C表示圆的周长，则有 C=πd或C=2πr.

师：要计算圆的周长，需知道什么？（圆的直径或半径）

练习：（不计算得数，直接报算式）

3.自主探索，总结圆的周长÷直径=圆周率的方法教师通过课件展示问题：对教材中的的周长计算公式，还有什么方法呢？由此拓展学生的思维解决实际问题：

教学例1 （关于圆的周长的计算公式的应用有多种情况：已知圆的半径或直径求圆的周长，或者已知圆的周长求圆的半径或直径。例1教学知道直径求周长的情况。）

圆形花坛的直径是20米，它的周长是多少？小自行车车轮直径是50厘米，它绕花坛一周要多少周？

学生独立完成，反馈。

第1个问题：已知直径求周长     C=πd=3.14×20=62.8（米）

第2个问题：先求小自行车车轮转动一周的长度，再求需要多少圈。

50cm=0.5m，0.5×3.14=1.57（m） 62.8÷1.57=40（周）

说明：⓵、解题时可以不写计算公式

➁、π取两位小数3.14，计算中不必使用≈ ，直接用 = 号。

【第三环节】巩固新知，拓展延伸，学以致用 为了更好地帮助学生巩固知识、提升能力，教师可以设计一系列问题与拓展练习。

1、 完成课本64页做一做。

2、完成练习十五第1题。

3、补充作业。判断题：

（1）圆的周长刚好是直径的3.14倍。

（2）大圆的圆周率大，小圆的圆周率就小。

（3）π是两位小数。

（4）圆的周长等于它的半径的2π倍。

（5）求周长，直径是唯一条件。

【第四环节】归纳小结，总结思想，作业布置。归纳小结，总结思想 师生共同归纳总结，不仅从知识的结构进行梳理，还概括了本节课数形结合思想的运用过程。学生在总结反思过程中感受到数形结合思想贯穿于本节课的始终。

本节课我们认识了圆的周长，并且通过实验知道，圆有大小，但每一个圆周长与它的直径的比的比值都相等，并且是一个固定的数，这个数叫圆周率，用π表示。从而找到了计算圆周长的公式，周长=直径 × π或半径×2×π。

二、教学设计做进一步思考：

（一）在教学过程中有效利用现代信息技术渗透数形结合思想

《圆的周长》是在学生学习了正方形周长的基礎上进行教学的。由复习老知识引入课题，目的是激发学生的探究积极性，然后我让学生自己推导出圆的周长公式，让学生以小组为单位进行操作：用“化曲为直”的绕线法测量圆的周长，并做好相应记录，填好表，为下一步探究奠定基础，接下来让学生猜一猜、想一想圆的周长与直径有什么关系，进而找到圆的周长与直径的关系，推出圆周率，得出圆的周长公式。最后让学生把得出的圆的周长公式应用到练习中。

（二）在问题解决过程中展现“化曲为直”的数学思想方法

教师应在解决数学问题过程中，展现“化曲为直”的数学思想的关键——学生提出质疑测量、学生通过小组合作的形式验证猜想，在理解了圆的周长与直径的关系及圆周率的基础上，推导出圆的周长的计算公式，再回到课前情境中，使学生在掌握新知识的基础上，解决实际问题，培养学生的应用意识。

（三）在教学反思过程中总结数形结合思想方法

关于反思的认识，在本节的教学中，我发现情境导入吸引了学生的注意，并对新知识产生了浓厚的兴趣，由于前面“正方形周长及圆的认识”知识的成功铺垫，因此本节课学生通过动手操作、自主探究、合作交流‘展示等活动，理解了“化曲为直”的数学思想方法。在推导公式过程中，因为亲自经历了小组内探讨圆的周长与直径的关系的过程，所以学生能较为容易地推导出圆的周长计算公式。

教学反思主要体现在四个方面：一是挖掘教材中蕴含的数形结合的“化曲为直”思想;二是在教学活动的各环节渗透各种数学文化数的渗透过程伴随知识的生长过程;三是分析例题设计习题练习，让学生时刻受到这种方法的熏陶，从而逐步形成数形结合的意识。在教学的各个环节，教师应始终遵循反思渗透 的原则，以便有效地渗透数形结合思想。

综上所述，在“《圆的周长》”的教学过程中渗透数形结合思想方法，教师应遵循学生的思维发展特点，运用现代信息技术动态地展现“形”，在解决问题的过程中灵活运用“数”与“形”的关系，反思数形结合思想的内在价值，从而提升学生解决数学问题的能力，我对课堂的掌控和把握能力还需提高，虽然对教材进行了较为深入的分析，但还没有做到不彻底，小组合作要求不到位。在今后的教学工作中，我将弥补以上不足之处，提高个人的理论修养，使自己的教学趋于完美。

（此成果是：广州市教育规划十三五课题“基于小学‘数学文化’高年段课例教学策略研究”成果之一，课题编号：201912067）

（广州市番禺区北片教育指导中心  广东广州  511430;广州市番禺区大石富丽小学  广东广州  511430）