伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想证明

王海东

摘 要：伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想是否成立，取决于高阶项是否小于p.如果高阶项小于p，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想就是成立的.如果高阶项不小于p，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想就是不成立的.

关键词：伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想;哈塞-韦伊L函数;椭圆曲线

中图分类号：G632文献标识码：A文章编号：1008-0333（2021）15-0041-03

伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想来源于哈塞-韦伊L函数.哈塞-韦伊L函数来源于椭圆曲线p模同余方程.椭圆曲线p模同余方程来源于椭圆曲线仿射方程.椭圆曲线仿射方程来源于椭圆曲线射影方程.

令x代表自变量，y代表因变量，k代表某个不等于0和1的常数，椭圆曲线射影方程为：

y3=x（x-1）（x-k）

令a，b，c，d代表四个不同常数，我们可以从椭圆曲线射影方程推出椭圆曲线仿射方程：

y2+ay=x3+bx2+cx+d

假定椭圆曲线的域特征不等于2和3，我们可以将椭圆曲线仿射方程简化成以下形式：

y2=x3+ax+b

这样一来，椭圆曲线仿射方程就与一个古希腊数学问题产生了理论联系.

这个古希腊数学问题是：到底有多少正整数可以成为边长为有理数的直角三角形的面积数？

令h代表任意正整数，x和y代表y≠0的有理数解，回答这个古希腊数学问题的充要条件为：

y2=x3-h2x

我们不难发现：当a=-h2和b=0时，简化的椭圆曲线仿射方程就是这个充要条件的数学表达式.

这个发现意味着：到底有多少正整数可以成为边长为有理数的直角三角形的面积数的数学问题，等价于某条椭圆曲线上到底可以存在多少个有理点的数学问题.有理点就是用有理数表示的坐标点.

那么，怎样才能把某条椭圆曲线的有理点数计算出来呢？显然，我们只能用椭圆曲线p模同余方程来完成这个计算任务.因为，椭圆曲线p模同余方程的有理解数就是某条椭圆曲线的有理点数.

令p代表任意质数，我们可以从简化的椭圆曲线仿射方程推出椭圆曲线p模同余方程：

y2≡x3+ax+b（mod p）

令λE（p）=p+1-NE（p）<p，NE（p）代表橢圆曲线p模同余方程的有理解数，λE（p）代表椭圆曲线p模同余方程的有理解数的偏差，E代表椭圆曲线，s代表任意复数，我们可以从椭圆曲线p模同余方程推出哈塞-韦伊L函数：

L（E，s）=∏p（1-λE（p）P+p-2s）-1=∑SymboleB@n=1λE（p）ns

由于哈塞-韦伊L函数属于幂级数，所以哈塞-韦伊L函数适用于泰勒展开式.

令f0代表s=1的函数值，f1代表f0的一阶导数，f2代表f0的二阶导数除以2的阶乘，f3代表f0的三阶导数除以3的阶乘，以此类推直至fn代表f0的n阶导数除以n的阶乘，哈塞-韦伊L函数的泰勒展开式为：

L（E，s）=f0+f1（s-1）+f2（s-1）2+f3（s-1）3+…+fn（s-1）n

从哈塞-韦伊L函数的泰勒展开式来看，如果将椭圆曲线上的全体有理点视为一个有理数集合，形成这个有理数集合的充要条件就是：

f0=0

但是，伯奇和斯温纳顿-戴尔并没有满足于发现这个充要条件.因为，这个有理数集合具有某种群结构.从这种群结构来看，这个有理数集合不仅是一个存在于椭圆曲线上的有理数群，而且是一个通过椭圆曲线的秩有限生成的阿贝尔群.椭圆曲线的秩就是椭圆曲线上的线性无关有理点数.椭圆曲线上的线性无关有理点数就是椭圆曲线上的有限个线性独立有理点.椭圆曲线上的有限个线性独立有理点，或者可以通过加法运算生成有限个有理数子群，或者可以通过加法运算生成有限个整数群副本.

令r代表椭圆曲线的秩，E（Q）代表存在于椭圆曲线上的有理数群，E（Q）g代表有限个有理数子群，Zr代表有限个整数群副本，我们可以用以下公式表示这个有理数集合：

E（Q）E（Q）g×Zr

从这个公式来看，椭圆曲线的秩是度量椭圆曲线的阶的一个重要参数.椭圆曲线的阶就是存在于椭圆曲线上的有理数群的元素个数.存在于椭圆曲线上的有理数群的元素个数就是某条椭圆曲线的有理点数.于是，伯奇和斯温纳顿-戴尔提出了一个十分重要的数学猜想.

令fr≠0，fn=0，n=0，1，2，3，…，r-1，这个十分重要的数学猜想就是：

L（E，s）=fr（s-1）r+高阶项

那么，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想具有什么重要性呢？显然，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的重要性在于：这个数学猜想不仅给出了一个比上述充要条件更强的充要条件，而且给出了位于椭圆曲线中心点的有理点数.这个中心点就是s=1的坐标点.因为，这个猜想包含着一个断言：当s=1时，椭圆曲线的阶等于椭圆曲线的秩.

那么，证明伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的难点是什么呢？显然，证明伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的难点在于：这个猜想不仅给出了一个有待证明的数学问题，而且给出了证明这个数学问题的一个充要条件.这个充要条件就是s=1.从这个充要条件来看，要想证明伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想，就必须用实数定义哈塞-韦伊L函数的复数.要想用实数定义哈塞-韦伊L函数的复数，就必须把哈塞-韦伊L函数的复数变成实数.

令σ和t代表两个实数，i代表虚数，我们可以用以下公式表示哈塞-韦伊L函数的复数：

s=σ+it

从这个公式来看，只要做出t=0的规定，我们就可以把哈塞-韦伊L函数的复数变成实数了.但是，哈塞-韦伊L函数不允许我们做出这样的规定.因为，哈塞-韦伊L函数是一个复变函数.作为一个复变函数，哈塞-韦伊L函数已经做出t≠0的规定了.

由此可见，把哈塞-韦伊L函数的复数变成实数并不是一件容易事.

那么，怎样才能把哈塞-韦伊L函数的复数变成实数呢？显然，要想把哈塞-韦伊L函数的复数变成实数，就必须推出两个十分重要的数学定理.这两个数学定理就是虚数产生定理和负实数开方定理.

虚数产生定理是指： 所有负实数的开方运算都会产生一个虚数.

令-x代表任意负实数，y代表负实数的开方，我们可以用数学归纳法证明虚数产生定理.

第一步，假定-x=-1.根据这一假定，我们可以推出以下公式：

y=-1=i

第二步，假定-x=-n且n>0.根据这一假定，我们可以推出以下公式：

y=-n=-1×n=-1×n=in

第三步，假定-x=-（n+m）且m≥0.根据这一假定，我们可以推出以下公式：

y=-x=-1×（n+m）=-1×n+m=in+m

因为上述三个公式覆盖了所有负实数，所以我们可以推出以下公式：

y=-x=-1×x=-1×x=ix

证毕.

负实数开方定理是指：任何绝对值相同的正负实数相乘都会产生负实数开方.

令y和-x含义不变，我们可以用以下方法证明负实数开方定理：

已知y=-x

又知y2=-x

因此x=-y2=y×（-y）

证毕.

通过虚数产生定理，我们可以找到这样一个数学公式：y=ix

通过负实数开方定理，我们又可以找到这样一个数学公式：y=-xy

把这两个数学公式联系起来，我们可以推出一个十分重要的数学公式：

ix=-xy

从这个数学公式中，我们又可以推出一个十分重要的数学公式：

iy=-xx

令z=x+iy代表复数，我们可以利用这个数学公式消去虚数，把复数公式改写成实数公式：

z=x+iy=x-xx=x（1-1x）

在做好了这些理论准备之后，我们就可以消除证明伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的难点，十分容易地把哈塞-韦伊L函数的复数变成实数了.

令s=z，σ=x，t=y，我们可以用以下公式表示这个变化过程：

s=σ+it=σ-σσ=σ（1-1σ）

为了便于叙述，我们把这个公式称为复变公式.

从复变公式中，我们可以得出五个重要结论：

第一，σ不存在0SymbolcB@σ<1的定义域.因为，如果σ存在0SymbolcB@σ<1的定义域，复变公式就会出现零分母或无理数.前者不符合分数要求，后者不符合有理数要求.

第二，由于σ不存在0SymbolcB@σ<1的定义域，所以σ有两个定义域.第一个定义域为σ≥1，第二个定义域为σ<0.σ的第一个定义域就是复变公式的实数定义域.因为，当σ≥1时，复变公式不会产生虚数.σ的第二个定义域就是复变公式的复数定义域.因为，当σ<0时，复变公式会产生虚数.

第三，由于σ有两个定义域，所以s也有两个定义域.第一个定义域为s≥0，第二个定义域为s<0.s的第一个定义域来自于σ的第一个定义域.因为，当σ≥1时，s≥0.s的第二个定义域来自于σ的第二个定义域.因为，当σ<0时，s<0.

第四，虽然σ和s都有两个定义域，但是这种相同之处却又有所不同.σ的两个定义域既无连续性又无对称性.s的两个定义域既有连续性又有对称性.因此，σ的两个定义域不会产生共轭变量，s的两个定义域会产生共轭变量.共轭变量就是与原有变量绝对值相同符号相反的变量.

第五，从哈塞-韦伊L函数来看，当s=0时，L（E，s）=λE（p）.当s>0时，L（E，s）<λE（p）.当s<0时，L（E，s）>λE（p）.

令σ代表平面直角坐标系的横轴，s代表平面直角坐标系的纵轴，我们可以根据这五个重要结论给出复变公式的几何表示：

由于平面直角坐标系的右平面属于复变公式的实数定义域，所以平面直角坐标系的右平面是一个实平面.在这个实平面上，存在着一条以σ=1为顶点的轴对称抛物线.位于横轴上方的轴对称抛物线代表s的原有变量，位于横轴下方的轴对称抛物线代表s的共轭变量.

由于平面直角坐标系的左平面属于复变公式的复数定义域，所以平面直角坐标系的左平面是一个复平面.在这个复平面上，存在着一条以σ<0为顶点的轴对称抛物线.位于横轴下方的轴对称抛物线代表s的原有变量，位于横轴上方的轴对称抛物线代表s的共轭变量.

除了上述区别，平面直角坐标系的右平面和左平面还有一个重要区别.这个重要区别来自于实平面和复平面的区别.

由于平面直角坐标系的右平面是一个实平面，所以平面直角坐标系的右平面不存在无穷远点.由于平面直角坐标系的右平面不存在无穷远点，所以右平面轴对称抛物线不会收敛于无穷远点.由于右平面轴对称抛物线不会收敛于无穷远点，所以右平面轴对称抛物线不能被想象为轴对称椭圆曲线.

由于平面直角坐标系的左平面是一个复平面，所以平面直角坐标系的左平面存在无穷远点.由于平面直角坐标系的左平面存在无穷远点，所以左平面轴对称抛物线会收敛于无穷远点.由于左平面轴对称抛物线会收敛于无穷远点，所以左平面轴对称抛物线可以被想象为轴对称椭圆曲线.

如果把平面直角坐标系的右平面和左平面聯系起来，将右平面轴对称抛物线视为左平面轴对称椭圆曲线的射影，将左平面轴对称椭圆曲线视为右平面轴对称抛物线的亏格，椭圆曲线就是一条亏格为1的光滑射影曲线.

由此可见，复变公式的几何表示就是椭圆曲线的几何表示.椭圆曲线的几何表示就是哈塞-韦伊L函数的几何表示.哈塞-韦伊L函数的几何表示就是伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想的几何表示.

现在的问题是：s=1意味着什么？

从以上分析来看，s=1意味着s>0，s>0意味着

L（E，s）<λE（p）.由于λE（p）<p，所以L（E，s）<λE（p）意味着L（E，s）<p.由于p>0，所以L（E，s）<p意味着L（E，s）≥0.

这样一来，我们就通过s=1发现了L（E，s）的上限和下限.

根据这个发现，我们可以用以下方法证明伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想：

已知L（E，s）=fr（s-1）r+高阶项，

又知0≤L（E，s）<p，

0≤（s-1）r<p-高阶项fr

因此，高阶项<p

证毕.

由此可见，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想是否成立，取决于高阶项是否小于p.如果高阶项小于p，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想就是成立的.如果高阶项不小于p，伯奇和斯温纳顿-戴尔猜想就是不成立的.

参考文献：

[1]王元，文兰，陈木法.数学大辞典[M].北京：科学出版社，2017（9）.

[2]（美） 基思·德夫林.千年难题[M].沈崇圣译.上海：上海科技教育出版社，2019（1）.

[责任编辑：李 璟]