三角形中位线定理模型的应用

崔成进 左效平

【构建模型】

1.  双中点模型

条件：如图1，在△ABC中，点D是AB的中点，点E是AC的中点;

结论：数量关系是[DE=12BC或BC=2DE]，位置关系是[DE⫽BC]. （三角形中位线定理）

2. 中点 + 平行线模型

条件：如图1，在△ABC中，点D是AB的中点，DE[⫽]BC;

结论：数量关系是[DE=12BC或BC=2DE]，位置关系是点E是AC的中点. （证明过程略）

通常借助辅助线构建三角形中位线定理模型，如：托底平行线型（如图2），中点平底线型（如图3）.

【中考真题】

例1（2020·山东·临沂）如图4，菱形ABCD的边长为1，∠ABC = 60°，点E是AB上任意一点（端点除外），线段CE的垂直平分线分别交BD，CE于点F，G，AE，EF的中点分别为点M，N. （1）求证：AF = EF;（2）求MN + NG的最小值;（3）当点E在AB上运动时，∠CEF的大小是否变化？为什么？

解析：（1）如图5，连接CF，∵FG垂直平分CE，∴CF = EF，

∵四边形ABCD为菱形，∴A和C关于对角线BD对称，

∴CF = AF，∴AF = EF;

（2）如图6，连接AC，CF，∵M，N，G分别是AE，EF，CE的中点，

∴MN = [12]AF，NG = [12]CF，即MN + NG = [12]（AF + CF），

当点F与菱形ABCD的对角线交点O重合时，AF + CF的值最小，即此时MN + NG的值最小，

∵菱形ABCD的边长为1，∠ABC = 60°，

∴△ABC为等边三角形，AC = AB = 1，即MN + NG的最小值为[12];

（3）∠CEF的大小不变. 理由：∵∠EGF = 90°，点N为EF的中点，∴GN = FN = EN，

∵AF = CF = EF，N为EF的中点，∴MN = GN = FN = EN，

∴△FNG为等边三角形，∴∠FNG = 60°，∴∠NGE + ∠CEF = 60°.

∵NG = NE，∴∠NGE = ∠CEF，∴∠CEF = 30°，为定值.

例2（2020·山东·青岛）如图7，在正方形ABCD中，对角线AC与BD交于点O，点E在CD的延长线上，连接AE，点F是AE的中点，连接OF交AD于点G. 若DE = 2，OF = 3，则点A到DF的距离为 .

解析：如图7，过点A作AH⊥DF，交DF的延长线于点H，

∵點O是正方形ABCD对角线的交点，∴AO = OC，∵点F是AE的中点，

∴OF是△ACE的中位线，∴CE = 2OF = 6，∴CD = CE - DE = 4.

同理可证，GF是△ADE的中位线，∴GF = [12]DE = 1.

∵AD = 4，DE = 2，F是Rt△ADE斜边上的中线，

∴DF = [12]AE = [12][AD2+DE2=1242+22] = [5].

∵在△ADF中，[12]AD × GF = [12]DF × AH，∴AH = [AD×GFDF=4×15] = [455].

[同步演练]

1. （2020·陕西）如图8，在[▱]ABCD中，AB = 5，BC = 8. E是边BC的中点，F是[▱]ABCD内一点，且∠BFC = 90°. 连接AF并延长，交CD于点G. 若EF[⫽]AB，则DG的长为 （ ）.

A.  2.5 B. 1.5 C. 3 D. 2

2. （2020·四川·凉山）如图9，[▱]ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OE[⫽]AB交AD于点E，若OA = 1，△AOE的周长等于5，则[▱]ABCD的周长等于 .

3. （2020·湖北·荆门）如图10，在菱形ABCD中，E，F分别是AD，BD的中点，若EF = 5，则菱形ABCD的周长为（ ）.

A. 20 B. 30 C. 40 D. 50

答案：1. D（提示：延长CD，交BF的延长线于点H） 2. 16 3. C