角平分线与等腰三角形的神奇联系

宋爱华

角平分线与等腰三角形有着密不可分的联系. 在许多几何问题中，遇到等腰三角形就会想到顶角的平分线，遇到角平分线又会想到构造等腰三角形.

一、角平分线 + 平行线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和平行线时，我们就可以寻找到等腰三角形. 在图1①中，若AD平分∠BAC，AD[?]EC，则△ACE是等腰三角形;在图1②中，AD平分∠BAC，DE[⫽]AC，则△ADE是等腰三角形;在图1③中，AD平分∠BAC，CE[⫽]AB，则△ACE是等腰三角形;在图1④中，AD平分∠BAC，EF[⫽]AD，则△AGE是等腰三角形.

例1 如图2，在△ABC中，AB=AC，在AC上取点P，过点P作EF⊥BC，交BA的延长线于点E，垂足为点F. 求证：AE=AP.

解析：要证AE=AP，可寻找一条角平分线与EF平行，联想到AB=AC，于是，作AD平分∠BAC，如图3，可得AD⊥BC，而EF ⊥ BC，则AD[⫽]EF，可得到△AEP是等腰三角形，从而AE=AP得证.

例2 如图4，在△ABC中，∠BAC，∠BCA的平分线相交于点O，过点O作DE[⫽]AC，分别交AB，BC于点D，E. 试猜想线段AD，CE，DE的数量关系，并说明你的猜想理由.

解析：猜想AD + CE=DE.

由于OA，OC分别是∠BAC，∠BCA的平分线，DE[⫽]AC，可证△ADO和△CEO是等腰三角形，则DO=DA，EC=EO，从而AD + CE=DE得证.

例3 如图5， AD平分∠BAC，E，F分别在BD，AD上，且DE=CD，EF=AC. 求证：EF[⫽]AB.

解析：要证EF[⫽]AB，已知AD平分∠BAC，可通过引辅助线构造出平行线，从而得到等腰三角形.

已知DE=CD，可联想倍长中线，于是延长AD至M，使DM=AD，连接EM.

如图6，可证△MDE ≌ △ADC，∴ME=AC，∠M=∠CAD.

又∵EF=AC，∴EF = ME，∴∠M=∠EFM，∴∠CAD=∠EFM，

又∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=∠CAD，∴∠BAD=∠EFM，∴EF[⫽]AB.

二、角平分线 + 垂线→等腰三角形

当一个三角形中出现角平分线和垂线时，我们就可以寻找到等腰三角形. 如图7，若AD平分∠BAC，AD⊥DC，则△AEC是等腰三角形.

例4 如图8，BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，垂足为D. 试说明：∠BAD=∠DAC + ∠ACB.

解析：本题中有BD是∠ABC的平分线，AD⊥BD，延长AD交BC于E，如图9，易证得等腰三角形ABE.

∵BD平分∠ABC，AD⊥BD，∴AB=BE，∴∠BEA=∠BAD.

又∵∠BEA=∠EAC + ∠C，∴∠BAD=∠DAC + ∠ACB.

例5 如图10，已知在等腰直角三角形ABC中，AB = AC，∠BAC = 90°，BF平分∠ABC，CD⊥BD，交BF的延长线于点D. 试说明：BF = 2CD.

解析：本题辅助线的作法不易想到，如图11，延长BA，CD交于点E，结合“三线合一”和全等三角形可证得结论.

∵BF平分∠ABC，CD⊥BD，

∴∠1 = ∠2，∠BDC = ∠BDE = 90°.

∵BD = BD，∴△BDC ≌ △BDE（ASA），∴BC = BE.

∵BD⊥CE，∴CE = 2CD.

∵∠BAC = 90°，∠BDC = 90°，∠AFB = ∠DFC，∴∠2 = ∠ACE.

又∵AB = AC， ∠BAF = ∠CAE = 90°，∴△ABF ≌ △ACE（ASA）.

∴BF = CE，∴BF = 2CD.