非线性二阶差分方程三点边值问题的研究
2021-09-09魏文英纪玉德郭彦平
魏文英 纪玉德 郭彦平
摘 要：為了拓展非线性离散边值问题的基本理论，研究了一类非线性二阶差分方程三点边值问题正解存在性的充分条件。首先，给出了相应的二阶差分方程三点边值问题解的表达式并证明其性质;其次，在Banach空间中构造合适的锥和积分算子，运用锥上的Krasnoselskiis不动点定理，在非线性项允许变号的条件下，获得非线性二阶差分方程三点边值问题正解存在性的充分条件;最后，通过2个例子证明主要定理和结果的有效性。结果表明，定理条件得证且离散边值问题满足正解的存在性。所研究的方法在二阶离散边值问题理论证明方面效果良好，对探究非线性高阶多点离散边值问题具有一定的借鉴意义。
关键词：差分方程;离散边值问题;不动点定理;锥;正解;存在性
中图分类号：O175 文献标识码：A
doi：10.7535/hbkd.2021yx04006
收稿日期：2021-05-11;修回日期：2021-06-09;责任编辑：张士莹
基金项目：河北省自然科学基金（A2015208051）;河北省高等学校科学技术研究指导项目（Z2019027）
第一作者简介：魏文英（1982—），女，河北邯郸人，讲师，硕士，主要从事常微分方程及差分方程方面的研究。
通讯作者：纪玉德副教授。E-mail：ji_yude@163.com
魏文英，纪玉德，郭彦平.非线性二阶差分方程三点边值问题的研究[J].河北科技大学学报，2021，42（4）：360-368.WEI Wenying，JI Yude，GUO Yanping.Research of the three-point boundary value problems for nonlinear second-order difference equation[J].Journal of Hebei University of Science and Technology，2021，42（4）：360-368.
Research of the three-point boundary value problems for nonlinear second-order difference equation
WEI Wenying1，JI Yude2，GUO Yanping2
（1.School of Software，Hebei Polytechnic Institute，Shijiazhuang，Hebei 050091，China;2.School of Science，Hebei University of Science and Technology，Shijiazhuang，Hebei 050018，China）
Abstract：In order to extend the basic theory of nonlinear discrete boundary value problems，this paper studied the sufficient conditions for the existence of positive solutions for a class of nonlinear second-order difference equations with three-point boundary value problems.Firstly，the expressions of the solutions for the corresponding three-point boundary value problems for second-order difference equations were given and their properties were proved; Secondly，by constructing suitable cone and integral operator in Banach space and utilizing Krasnoselskii's fixed point theorem in cones，the sufficient conditions for the existence of positive solutions of three-point boundary value problems for nonlinear second-order difference equations were obtained under the condition that the nonlinear term was allowed to change sign.Finally，two examples were given to illustrate the validity of the main theorems and results.The results show that the conditions of the theorem are proved and the discrete boundary value problems satisfies the existence condition of positive solutions.The method is effective in the theoretical proof of the second-order discrete boundary value problem，and has reference for the study of the nonlinear high-order multi-point discrete boundary value problems.
Keywords：
difference equation;discrete boundary value problem;fixed point theorem;cone;positive solution;existence
多点边值问题的研究起源于应用数学和物理领域。例如，弹力稳定性理论中的很多问题，都可以用多点边值问题的方法进行处理。因此，多点边值问题受到了很多研究者的关注，参见文献[1]、文献[2]及其参考文献。
在文献[3]和文献[4]中，研究人员应用不动点定理，证明了如下三点边值问题
u″（t）+a（t）f（u（t））=0， 0 多个正解的存在性，其中非线性项f是超线性的或次线性的，0<η<1，0<α<1η，f∈C（[0，+.SymboleB@），（0，+.SymboleB@）），a∈C0，1，0，+.SymboleB@，且存在t0∈0，1，使得at0>0。而后，XU等[5-6]证明了上述三点边值问题至少存在1个和3个解的存在性，其中0<α，η<1，f∈C（R，R）。 LI等[7]利用Krasnoselskiis不动点定理研究了如下三点边值问题 u″（t）+a（t）u′（t）+λf（t，u（t））=0， 0 至少有1个正解的存在性，其中0<α，η<1，λ>0，a∈C（[0，1]，（-.SymboleB@，0）），且非线性项f∈C（[0，1]×R，R）。 对于二阶差分方程满足局部（混合周期）和非局部边界条件解的存在性和多解性，人们进行了广泛研究[8-18]。从文献来看，关于非线性差分方程多点边值问题解的存在性的研究成果还很少。受上述文献中研究方法的启发，本文利用锥上的Krasnoselskiis不动点定理，研究非线性二阶三点离散边值问题 Δ2u（t）+a（t）Δu（t）+λf（t，u（t））=0， t∈{0，1，…，n-2}，（1） Δu（0）=0，u（n）=αu（η）（2） 正解存在性的充分条件，其中Δu（t）=u（t+1）-u（t），且有∑n-1t=t0Δut=un-ut0和Δ∑n-1t=t0ut=un成立。 假设条件： H1λ>0，0<α<1，η∈1，2，…，n-1和a（t）<0，t∈0，1，…，n; H2f∈C（{0，1，…，n}×R，R），且当t，u∈0，1，…，n×R时，存在M>0，使得ft，u>-M。 利用锥上的Krasnoselskiis不动点定理，获得离散边值问题（1）和问题（2）至少存在1个正解的充分条件。 1 预备知识 引理1[19]（Krasnoselskiis不动点定理） 设E是Banach空间，K是E上的1个锥，并且Ω1和Ω2是E的有界开集，满足0∈Ω1Ω1Ω2，假设算子A：K∩Ω2＼Ω1→K是全连续算子，且满足如下2个条件之一： 1）‖Au‖≤‖u‖， u∈K∩Ω1，且‖Au‖≥‖u‖， u∈K∩Ω2， 2）‖Au‖≥‖u‖， u∈K∩Ω1，且‖Au‖≤‖u‖， u∈K∩Ω2， 那么，算子A在K∩Ω2＼Ω1中至少存在1个不动点。 对于u∈u0，u1，…，un，令‖u‖=maxt∈0，1，…，nut，易知X=u0，u1，…，unui∈R，i=0，1，…，n关于范数‖·‖构成Banach空间。 引理2 假设条件H1成立，则对任意y∈X，二阶离散三点边值问题 Δ2ut+atΔut+yt=0， t∈0，1，…，n-2，（3） Δu（0）=0，u（n）=αu（η）（4） 有唯一解， ut=-∑t-1j=11pj∑j-1i=0pi+1yi+11-α∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1yi- α1-α∑η-1j=11pjpi+1yi，（5） 其中pt=∑t-1i=011-ai。 证明 假设ut满足边值问题（3）和问题（4）。因为pt=∑t-1i=011-ai，有pt≥0，p0=1。用pt乘以式（3）的两边，得到ΔptΔut+pt+1yt=0， 由差分的性质可推出： p1Δu1-p0Δu0=-p1y0， p2Δu2-p1Δu1=-p2y1， ptΔut-pt-1Δut-1=-ptyt-1， ptΔut-p0Δu0=-∑t-1i=0pi+1yi。 由邊界条件Δu0=0，得ptΔut=-∑t-1i=0pi+1yi， 所以 Δut=-1pt∑t-1i=0pi+1yi。（6） 一方面，可得 Δu1=u2-u1=-1p1∑0i=0pi+1yi， Δu2=u3-u2=-1p2∑1i=0pi+1yi， Δut-1=ut-ut-1=-1pt-1∑t-2i=0pi+1yi。 将上述方程两边相加，得 ut-u0=-∑t-1j=11pj∑j-1i=0pi+1yi。（7） 另一方面，有 Δun-1=un-un-1=-1pn-1∑n-2i=0pi+1yi， Δun-2=un-1-un-2=-1pn-2∑n-3i=0pi+1yi， Δut=ut+1-ut=-1pt∑t-1i=0pi+1yi。
类似的，将上述方程两边相加，得
un-ut=-∑n-1j=t1pj∑j-1i=0pi+1yi。（8）
将式（7）和式（8）两边相加，得到
u0=un+∑n-1j=t1pj∑j-1i=0pi+1yi+∑t-1j=11pj∑j-1i=0pi+1yi。
由边界条件un=αuη，可得
u0=αuη+∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1yi=
αu0-∑η-1j=11pj∑j-1i=0pi+1yi+∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1yi，
则
u0=11-α∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1yi-α1-α∑η-1j=11pj∑j-1i=0pi+1yi。（9）
因此，合并式（7）和式（9），可得到式（5）。反之，假设ut是由式（5）给出的，带入式（3）和式（4）成立。
证毕。
引理3 假设条件H1成立。如果y∈X且yt≥0， t∈0，1，…，n，则离散边值问题（3）和问题（4）的解ut满足
mint∈0，1，…，nut≥γ‖u‖，（10）
其中γ=αn-ηn-αη。
证明 分2步进行证明。
第1步，对任意t∈0，1，…，n，证明ut≥0。
由式（6）和yt≥0，可知对任意t∈0，1，…，n，Δut≤0，因此ut是单调递减函数。如果un≥0，由于ut是单调递减函数，因而很容易得到上述结论;如果un<0，由边界条件un=αuη，有uη 第2步，证明式（10）成立。 由ut的单调性，可知u0=maxt∈0，1，…，nut，un=mint∈0，1，…，nut。 因为Δ2ut=-atΔut-yt≤0，所以可得到ut在0，1，…，n上的离散点图形是凹的。由于ut是单调递减函数，因而有Δut≤0，根据差分性质可知 Δun-1+…+Δuηn-η=uη-unn-η≥Δun-1+…+Δu0n-0=u0-unn， 即 u0≤un+nuη-nnn-η=un+nun-αuηαn-η=unn-αηαn-η=1γun， 可以得出un≥γu0，即mint∈0，1，…，nut≥γ‖u‖。 证毕。 注1 关于引理3，若α>1和un>0，由un=αuη，得到un>uη，这与单调性矛盾;若un=0，由函数的单调性得到ut≡0， t∈η，n，但需要yt≡0， t∈0，1，…，n。因此，本文要求0<α<1。 引理4 假设条件H1成立，w-t是如下边值问题的解： Δ2ut+atΔut+1=0， t∈0，1，…，n-2， Δu0=0，un=αuη， 则当t∈0，1，…，n时，存在S>0，使得0≤w-t≤S。 证明 由引理3的证明，可知w-0=maxt∈0，1，…，nw-t，且w-t≥0， t∈0，1，…，n。由式（9）可得 w-0=11-α∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1-α1-α∑η-1j=11pj∑j-1i=0pi+1= ∑η-1j=11pj∑j-1i=0pi+1+11-α∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1。 因此，令 S=w-0=∑η-1j=11pj∑j-1i=0pi+1+11-α∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1。 则当t∈0，1，…，n时，0≤w-t≤S。 证毕。 设wt=λMw-t，则wt≤λMS（λ和M来自条件H1和H2），若ut是边值问题（1）和问题（2）的解，则 Δ2ut+wt+atΔut+wt= Δ2ut+atΔut+λMΔ2w-t+atΔw-t= -λft，ut-λM= -λft，ut+M。 令gt，u=ft，u+M，对任意t，u∈0，1，…，n×R， gt，u>0。 因此可得到引理5。 引理5 函数ut是边值问题（1）和问题（2）的解，当且仅当u～t=ut+wt是如下边值问题的1个解， Δ2u～t+atΔu～t+λgt，u～t-wt=0， t∈0，1，…，n-2，（11） Δu～0=0， u～n=αu～η，（12） 其中u～t>wt， t∈0，1，…，n。 2 主要结果 定理1 假设条件H1和H2成立，且函數ft，u满足 limu→+.SymboleB@inft∈η，…，nft，uu=+.SymboleB@，（13） 则存在一个常数λ>0，对任意λ∈0，λ，使得离散边值问题（1）和问题（2）至少有1个正解。 证明 由引理2，易知边值问题（11）和问题（12）有一个正解u～=u～t，当且仅当u～是方程算子ut=Aut的1个正解，其中： Aut=-λ∑t-1j=11pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi+ λ1-α∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi- αλ1-α∑η-1j=11pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi。（14） 令K=uu∈X，u≥0，mint∈0，1，…，nut≥γ‖u‖。显然K是X上的锥，并且依据引理3，AKK。根据文献[20]，容易看出A：K→K是全连续的。证明A满足引理1的条件。
首先，设g～r1=supt∈0，1，…，n，0≤u≤r1gt，u，其中r1>0。由式（13）可得limr1→+.SymboleB@r1g～r1=0，则存在1个常数R1>0，使得
R1g～R1=maxr1>0r1g～r1。（15）
记G=g～R1，设
λ=minγR1MS， 1-αR1GS，（16）
并且对任意λ<λ，令Ω1=u∈X：‖u‖ R1≥us-ws≥γR1-λMS>γR1-λMS≥0， 0<γ<1（17） 和 gs，us-ws≤g～R1=G， s∈0，1，…，n。 因此，由式（14）和引理4可得： Aut≤-λ1-α∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi≤ λG1-α∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1≤ λG1-α∑η-1j=11pj∑j-1i=0pi+1+11-α∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1= λGS1-α≤R1， 对任意u∈K∩Ω1，得 ‖Au‖≤‖u‖。（18） 另一方面，由式（13），有 limu→+.SymboleB@inft∈η，…，ngt，uu=limu→+.SymboleB@inft∈η，…，nft，u+Mu=+.SymboleB@。 因此，令R2=nR1（n是大于1的正整数），使得对任意t∈η，…，n，u≥γn-1nR2，有gt，u≥ξu，其中ξ>0满足 αγλξn-1n1-α∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1≥1。（19） 令Ω2=u∈X：‖u‖ us-ws≥γR2-λMS>γR2-γR1≥γn-1nR2， 且 g（s，u（s）-w（s））≥ξ（u（s）-w（s））≥γξ（n-1）nR2， s∈{0，1，…，n}。 由式（14）和式（19），可得 Aun=-λ∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi+ λ1-α∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi- αλ1-α∑η-1j=11pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi= αλ1-α∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi- αλ1-α∑η-1j=11pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi= αλ1-α∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi， 所以 Aun=αλ1-α∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi，（20） Aun≥αγλξn-1R2n1-α∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1≥R2>‖u‖。 即对u∈K∩Ω2时，有 ‖Au‖≥‖u‖。（21） 因此由式（18）、式（21）和引理1，可得到算子A在K∩Ω2＼Ω1上有1个不动点使R1≤‖u～‖≤R2。根据式（17），得到u～t>wt，因此u～t是边值问题（1）和问题（2）的1个正解。 证毕。 定理2 假设条件H1和H2成立，并且函数ft，u满足 limu→+.SymboleB@inft∈η，…，nft，u=+.SymboleB@和limu→+.SymboleB@supt∈0，1，，…，nft，uu=0，（22） 则存在1个常数λ>0，对任意λ∈λ，+.SymboleB@，使得离散边值问题（1）和（2）至少有1个正解。 證明 显然A：K→K是全连续算子，下面的证明与定理1的证明过程类似。 证明算子A满足引理1的条件。 令 ζ=2MS1-ααγ∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1-1。（23） 一方面，由式（22）的第1个极限，有 limu→+.SymboleB@inft∈η，…，ngt，u=limu→+.SymboleB@inft∈η，…，nft，u+M=+.SymboleB@， 则存在N>0，t∈η，…，n和u≥N，使得 gt，u≥ζ。 设λ=NMS和R1=2λMSγ，则对任意λ≥λ，u∈K和‖u‖=R1，有 us-ws≥γR2-λMS=λMS≥λMS≥N（24） 和gs，us-ws≥ζ成立。 由式（20）和式（23），可知 Aun=αλ1-α∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi≥ αλζ1-α∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1= αλζ1-α×2MS1-ααγζ=2λMSγ=R1=‖u‖。（25） 令Ω1=u∈X：‖u‖ ‖Au‖≥‖u‖。（26） 另一方面，由式（22）的第2个极限，可知 limu→+.SymboleB@supt∈0，1，…，ngt，uu=limu→+.SymboleB@supt∈0，1，，…，nft，u+Mu=0。 因此，对任意ε>0，存在R～2>R1，t∈0，1，…，n和u≥R～2，使得gt，u≤εu。这里ε满足 ελ1-α∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1≤1。（27） 因为gt，u非负连续函数，存在σ>0，使得
0≤gt，u≤εσ， t∈0，1，…，n， N≤u≤R～2。
令R2=maxR～2，σ和Ω2=u∈X：‖u‖ 由式（14）和式（27），可得 Aun≤λ1-α∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1gi，ui-wi≤ εR2λ1-α∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1≤R2， 即，当u∈K∩Ω2时， ‖Au‖≤‖u‖。（28） 因此，由式（26）、式（28）和引理1，得到A在K∩Ω2＼Ω1上有1个不动点，使得R1≤‖u～‖≤R2。根据式（24），得到u～t>wt，因此u～t是边值问题（1）和问题（2）的1个正解。证毕。 注2 若at≡0， t∈0，1，…，n，则定理1和定理2仍然成立，文献[16]所研究的问题就是该特殊情况。 注3 在定理1和定理2中，非线性项f的有界性假设是至关重要的。因为确定gt，u=ft，u+M是根据这个假设，然后可得出引理5的结论，最后利用Krasnoselskiis不动点定理，获得2个重要的结果。 3 例 证 为了说明本文所获得的结果，举出如下2个例子。 例1 考虑二阶离散边值问题 Δ2u-Δu+λu2-5etcosu=0， t∈0，1，…，n-2，（29） Δu0=0，un=45un2。（30） 易知α=45，η=n2，a（t）=-1，f（t，u）=u2-5etcosu。 令M=5en，则对于t∈0，1，…，n，f（t，u）>-5en，且limu→+.SymboleB@inft∈η，…，nft，u=+.SymboleB@， 因此满足定理1的条件。再令γ=12，可得 S=∑n-1j=11pj∑j-1i=0pi+1-11-α∑η-1j=11pj∑j-1i=0pi+1=n2-9n4+12。 令R1=（5en-5）12，则式（15）成立，且G=g～（R1）=10（en-1）。 因此，根据定理1，对于任何λ<λ*=R1（1-α）GS=（5en-5）1250（en-1）（n2-9n4+12），边值问题（29）和问题（30）至少存在1个正解u～（t），并且满足‖u～（t）‖≥（5en-5）12。 例2 考虑二阶离散边值问题 Δ2u-Δu+λu23-5t2cosu=0， t∈0，1，…，n-2，（31） Δu0=0，un=45un2。（32） 易知α=45，η=n2，a（t）=-1，f（t，u）=u23-5t2cosu。 令M=5n2，则对于t∈0，1，…，n，f（t，u）>-5n2，且 limu→+.SymboleB@inft∈η，…，nft，u=+.SymboleB@和limu→+.SymboleB@supt∈0，1，…，nft，u=0， 因此满足定理2的条件。再令γ=12，可得 S=n2-9n4+12，ζ=2MS（1-α）αγ∑n-1j=η1pj∑j-1i=0pi+1-1=40n2n2-9n4+1232n2-3n。 对任意N≥（ζ）12，有g（t，u）≥ζ成立。 因此，根据定理2，对于任何λ≥λ*=NMS=2105n2n2-9n4+1232n2-3n-12，边值问题（31）和问题（32）至少存在1个正解u～（t），并且满足‖u～（t）‖≥2λMSγ=20n2λ（n2-9n4+12）。 4 结 语 1）利用锥上的Krasnoselskiis不动点定理，在非线性项允许变号的情形下，研究了非线性二阶三点离散边值问题正解存在性的充分条件，通过2个数值例子验证了所获得理论结果的正確性。 2）结果表明，离散边值问题满足定理正解的存在性条件。所提出的研究方法在二阶离散边值问题理论证明方面效果良好，对探究非线性高阶多点离散边值问题具有一定的借鉴意义。 3）本研究仅考虑了非线性二阶三点离散边值问题，未能完全体现出弹力稳定性理论中的更多问题，且仅考虑了非线性项在有界情形下正解的存在性问题;此外，所使用的锥上不动点定理仅能获得至少1个正解的存在性，对于非线性项更一般化的条件以及多解的存在性还有待于进一步研究。下一步计划对非线性高阶多点离散边值问题以及分数阶q-差分边值问题解的存在性进行深入探讨，并在多种非线性项情形下进行数值验证。 参考文献/References： [1] LIU Yang，LIU Xiping，JIA Mei.Multiplicity results for second-order m-point boundary value problem[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications，2006，324（1）：532-542. [2] ZHANG Zhongxin，WANG Junyu.Positive solutions to a second-order there-point boundary-value problem[J].Journal of Mathematical Analysis & Applications，2003，285（1）：237-249. [3] MA Ruyun.Multiplicity of positive solutions for second-order there-point boundary-value problems[J].Computers & Mathematics with Applications，2000，40（2-3）：193-204.
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