小侧隙薄辐板齿轮的啮合刚度与准静态传递误差计算方法

曹学晨 陆凤霞 吴霞 施蓓蓓

摘要：侧隙补偿是高精密齿轮传动领域的研究热点，侧隙变大会导致传动稳定性变差，而过小的侧隙会导致齿轮非工作面发生干涉。结合航空薄辐板齿轮的特点，根据轮系传动链中的小侧隙与传动精度间的几何关系，提出了考虑侧隙的齿轮结构参数计算方法，基于有限元原理建立了小侧隙薄辐板齿轮的啮合刚度计算方法，通过正交试验法分析了齿轮参数对啮合刚度的影响并构建了考虑侧隙与辐板参数变化的准静态传递误差计算公式，为小侧隙薄辐板齿轮副的刚度及准静态传递误差计算提供了技术依据。

关键词：侧隙；薄辐板；有限元；啮合刚度；正交试验；准静态传递误差

中图分类号：TH111文献标识码：ADOI：10.19452/j.issn1007-5453.2021.07.008

航空作动器是飞机飞行控制的关键部件[1-2]，常采用“旋转电机+机械变换”的传动形式[3-4]，其长传动链传动特点对齿轮侧隙及辐板参数设计提出了极高的要求，薄辐板结构引起的齿轮刚度下降及齿侧间隙导致的传动误差问题均需开展深入研究。

围绕小侧隙及薄辐板结构齿轮，有学者应用商用有限元软件[5]对其进行了分析，陶栋材[6]、江波[7]等研究了薄辐板结构对啮合刚度的影响。Maruni？[8-9]等通过有限元法进行齿轮网格划分，研究了辐板厚度对齿根应力及轮缘应力的影响。Br？？ek等[10]分析了齿向键槽方向转动对齿根应力的影响并設计了相关试验。Li[11-13]对齿面接触应力、齿根弯曲应力以及轮缘与辐板的接合应力进行了分析。Liu等[14]以含形位误差的直齿圆柱齿轮为对象，对加入侧隙后的齿轮进行了刚度分析。Yu等[15]提出了基于外部平行轴齿轮传动的双偏心模型，发现了偏心误差对传动误差的影响规律。张磊磊等[16]发现侧隙在稳定旋向齿轮副中产生的影响较小，但却能直接导致齿轮副回差。Park[17]对齿轮时变啮合刚度进行了分析，发现侧隙增大亦会引起啮合力增大。

目前尚未见到以小侧隙薄腹板齿轮为研究对象，从齿轮啮合原理与有限元载荷分布原理出发，对其啮合刚度计算方法的深入研究。本文针对航空作动器精密传动需求，推导了计入侧隙后的齿轮压力角与重合度的计算方法，依据有限元原理建立了小侧隙薄辐板齿轮的啮合刚度计算方法，分析了侧隙量、辐板厚度、轮缘厚度与齿宽等结构参数对啮合刚度的影响规律并构建了考虑侧隙与辐板参数变化的准静态传递误差计算模型，分析了各结构参数对传动误差的影响。

1计入侧隙的齿轮结构参数计算

2基于有限元原理的小侧隙薄辐板齿轮啮合刚度计算

本文采用基于有限元原理自主开发的程序[18-19]对小侧隙薄辐板齿轮进行了几何建模与啮合仿真。构建辐板模型时，辐板厚度C一般取0.2～0.3的齿宽，且通常不小于10mm，轮缘厚度δ通常为2.3～6.8倍法向模数[20]。齿轮剖面图如图5所示。

有限元建模中常采用四面体常应变单元、八节点六面体等参单元、二十节点六面体等参单元、非协调单元等，针对小侧隙薄辐板的结构形式，本文采用八节点非协调QMM6单元（见图6），包括8个顶点节点与三个内部节点，在模型产生的畸变较大时，该单元仍可保持较高的计算精度，采用QMM6单元构建的薄辐板齿轮节点模型如图7所示。

以式（3）的渐开线方程为参照划分网格，对所有单元的网格节点进行编号，并与相应节点的坐标值对应，将单元刚度矩阵对照单元编号矩阵进行组装，得到小侧隙薄辐板齿轮的总刚度矩阵。

由于总刚度矩阵缺乏边界约束条件，则为半正定矩阵，若对此刚度方程进行求解将无法得到定解，因此需按实际齿轮约束情况对有限元模型设定合理的边界条件。图8为对薄辐板齿轮边界施加的约束，通过置大数法处理约束，使得总刚度矩阵转化为正定矩阵，最后通过在啮合齿面施加单位载荷以计算得到齿面啮合刚度。

在求得齿面离散节点刚度矩阵后，采用上述方法可获得齿轮从啮入到啮出过程中所有接触线对应的啮合刚度。但由于有限元法所获得的接触线数目有限，因此要获得整个啮合过程中的啮合刚度变化曲线，还需对离散接触线对应的啮合刚度进行拟合。

3侧隙及辐板对齿轮啮合刚度的影响分析

为了避免齿对啮合干涉以及保证齿面充分润滑，常通过去除齿面材料的方式预留齿侧间隙；而辐板厚度对啮合刚度影响较小，因此分别讨论侧隙及辐板厚度对啮合刚度的影响规律。

3.1侧隙对啮合刚度的影响分析

侧隙的加入会导致啮合位置压力角以及齿间载荷分布产生变化，本文选取的齿轮副算例参数见表1。

从图9可以发现，侧隙在由0增大至0.5mm时，齿面最大啮合刚度由1.225×106N/mm逐渐减小至1.192×106N/mm。侧隙量对最大刚度的影响系数为侧隙每增加1mm，刚度下降6.6×104N/mm。

为验证本文小侧隙薄辐板齿轮有限元计算程序的精确性，采用商用软件对小侧隙薄辐板齿轮啮合刚度进行计算。表2为自主开发的有限元程序与Romax计算结果的对比，由于本文采用基于有限元原理的方法计算齿面刚度，相对于部分商用软件在考虑辐板等结构参数计算刚度方面更具有准确性，尤其当辐板厚度、侧隙等参数较小时。

3.2辐板对啮合刚度的影响分析

设计正交试验以获得辐板厚度、齿宽与轮缘厚度对齿轮啮合刚度的影响。表3为正交试验数据，试验有三个因子，8个试验。为得到精确的分析结果，试验中设置了两个仿行，总试验数为22次。其中辐板厚度的试验范围为5～ 50mm，齿宽试验范围为5～30mm，并且认为算例的实际齿宽为辐板厚度与齿宽之和，轮缘厚度试验范围为5～50mm。从图10的分析可知，对齿面啮合刚度影响程度由大至小的单因素结构参数分别为辐板厚度、齿宽与轮缘厚度，对应的每单位厚度变化对最大啮合刚度的影响分别为0.0213×106，0.0199×106，0.0036×106。

從图11的分析可发现，齿宽越大，轮缘厚度对齿面最大啮合刚度的增益效果最为显著；轮缘厚度越大，辐板厚度的增加对齿面最大刚度呈现微小的增加趋势；轮缘厚度越大，齿宽的增加对齿面最大啮合刚度几乎不产生影响。

综上，对齿面最大啮合刚度影响最显著的是辐板厚度，齿宽次之，轮缘最小。

3.3侧隙对齿间载荷分配的影响分析

由于侧隙的加入，重合度εj减小，单齿啮合区域增大，齿间载荷分配也会发生变化，如图12所示。载荷分配发生变化的几何原因是侧隙增加而导致齿轮需要比无侧隙多转过一个角度，从而造成啮合角的变化。

采用表1的齿轮参数作为算例，由于载荷分配与齿面综合啮合刚度以及齿轮几何结构有关，这里可以直接推导出对于渐开线直齿轮较为通用的齿面载荷分配受侧隙变化影响大小，即侧隙量每增加1mm，齿间载荷分配中的单齿啮合段即载荷分配为100%的部分增加了26%。

3.4多参数影响的薄辐板齿轮准静态传递误差分析

侧隙量的增加导致QSTE峰值以及重合度的增加，由图13可以直观看出QSTE最大值变大的同时，误差峰值时间变长。齿宽大小对齿面刚度的影响与辐板厚度相近，但是齿宽的减小会使得在总啮合力不变的情况下，单位齿宽上的载荷变大，齿根弯曲与齿面变形相应变大，导致QSTE增大。

QSTE的产生源于齿面弹性变形与齿根弯曲应力等，由于侧隙与齿轮结构参数的影响，齿面刚度下降，齿面接触变形与齿根弯曲程度增加。尤其当主动轮接触位置在齿顶位置时，齿根弯曲程度变大，QSTE峰值变大，啮出时间延后。这就解释了QSTE曲线在侧隙加入后，右侧QSTE增量增大，峰值时间延长。

4结束语

本文从齿轮啮合原理与有限元理论出发，建立了小侧隙薄辐板齿轮啮合刚度与准静态传递误差的计算方法，主要结论包括：

（1）推导了计入侧隙的齿轮啮合刚度计算方法，计算并分析了侧隙参数对刚度的影响规律，随着侧隙的增加，啮合点向齿根偏移，重合度下降，齿轮刚度逐渐减小。

（2）依据有限元原理建立了小侧隙薄辐板齿轮啮合刚度计算方法并进行了验证，通过正交试验发现对齿面啮合刚度影响程度由大至小的结构参数分别为侧隙、辐板厚度、齿宽与轮缘厚度。

（3）构建了考虑侧隙与辐板参数的准静态传递误差计算公式，比较了各参数对准静态传递误差的影响，影响程度由大至小为齿宽、侧隙、辐板厚度与轮缘厚度，为进一步的动力学分析奠定了基础。

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Calculation Method of Meshing Stiffness and Quasi-static Transmission Error of Small Backlash and Thin-Spoke Gear

Cao Xuechen1，Lu Fengxia1，Wu Xia2，Shi Beibei2

1. National Key Laboratory of Science and Technology on Helicopter Transmission，Nanjing University of Aeronautics and Astronautics，Nanjing 210016，China

2. Aviation Key Laboratory of Science and Technology on Aero Electromechanical System Integration，Nanjing 210001，China

Abstract： Backlash compensation is a research hotspot in the field of high precision gear transmission. Large backlash would lead to poor transmission stability， while small backlash would result in non-working face interference of the gear. Combined with the characteristics of the thin-spoke aviation gear， structure parameter calculation method is proposed according to geometric relation of small backlash and transmission accuracy of chain. Based on finite element theory， the meshing stiffness model of small backlash and thin-spoke gear is established. The effects of parameters on meshing stiffness are analyzed through orthogonal experiment， furthermore meshing stiffness calculation model is obtained using radial basis function neural network which would provide technical support for rapid perdiction of small backlash and thin-spoke gear.

Key Words： backlash； thin-spoke； finite element； meshing stiffness； orthogonal experiment； quasi-static transfer error