三点共线需谨慎 说理证明摆首位

徐燕娟

中心对称图形是中考命题的热点，涉及的知识点较多，特别是平行四边形的性质和判定。所以我们在学习这一章的时候要能结合图形理解掌握所学的知识，并灵活应用，融会贯通，做题时不主观臆断，要有严谨的说理证明。本章内容概念多，性质定理和判定方法多样，同学们容易混淆犯错，下面就以常见错误——作辅助线默认三点共线来举例并加以分析。

例1 已知：如图1，四边形ABCD中，AD∥BC，点O是对角线BD的中点，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F，且AE=CF，求证：四边形ABCD是平行四边形。

【错解】证明：如图2，连接AC。

∵AD∥BC，

∴∠DAC=∠ACB，∠AEF=∠CFE。

又∵AE=CF，

∴△AOE≌△COF，

∴OA=OC。

∵點O是BD的中点，

∴OB=OD，

∴四边形ABCD是平行四边形。

【剖析】错解中，连接AC，并不能保证AC必过点O。本题出现的错误是证△AOE≌△COF时，默认了A、O、C 三点共线。

【正解】证明：∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，∠DEO=∠BFO。

∵点O是BD的中点，

∴OB=OD，

∴△DOE≌△BOF，

∴DE=BF。

又∵AE=CF，

∴DE+AE=BF+CF，即AD=BC。

∵AD∥BC，AD=BC，

∴四边形ABCD是平行四边形。

例2 如图3，已知，矩形ABCD中，过点O作AC的垂线分别与AD、BC相交于点E、F，且DE=BF，连接AF、CE，试证明：四边形AFCE为菱形。

【错解】证明：如图4，连接BD。

∵四边形ABCD是矩形，

∴OA=OC，OB=OD，AD∥BC。

∵AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，∠DEO=∠BFO。

又∵DE =BF，

∴△DOE≌△BOF，

∴OE=OF。

又∵OA=OC，

∴四边形AECF是平行四边形。

∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形。

【剖析】错解中，连接BD，并不能保证BD必过点O。因此，在证明△DOE≌△BOF时，默认了B、O、D三点共线。事实上，我们不能默认点O就是对角线的交点。

【正解】证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD=BC。

又∵DE =BF，

∴AD-DE=BC-BF，

∴AE=CF。

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，

∴四边形AECF是平行四边形。

∵EF⊥AC，

∴四边形AECF是菱形。

（作者单位：江苏省常州外国语学校）