以可视化教学助推学生的数学思维进阶

於慧敏

【关键词】思维可视化;数学思维;思维基础;思维路径;思维进阶

【中图分类号】G623.5  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2021）52-0143-03

思维可视化的一般定义就是借助图示工具将原本不可视的思考方法和途径直观形象地呈现出来，方便理解。在具体形象思维占据主体地位的小学阶段，创造条件促进学生的思维可视化，让学生的思路清晰可见，可以让学生沿着一定的思维脉络去学会思考，打通他们的思维通道，启迪他们的智慧，发展他们的数学思维能力。

1.夯实学生的数学思维基础。

在数学学习中，如果学生根本搞不清问题是什么，他们就无法思考问题;如果学生清楚问题是什么，但缺乏相关领域的知识基础，他们一样难有作为;如果学生明晰问题是什么，也具备相应的知识基础，但还是难以形成有效的思路，就说明他们在知识和问题之间存在一定的障碍，需要夯实学生思维的基础，提升学生的思考力。通过思维可视化，可以在很大程度上解决学生不会思考的问题，形象化的材料有助于学生开启思路，打通思维通道。

如教学苏教版三下“两位数乘两位数”，有这样一道习题：学校艺术节活动中，足球操展示方队排成一个长方形，小华站在左起的第5列，右起的第12列，从前往后数他是第7个，从后往前数他是第16个，那么，参加足球操展示的学生一共有多少人？在学生读题理解后，教师引导学生通过画图的方式呈现足球操方队的情况。学生用圆圈（如下页图1）代表学生，重点突出小华所在的列和行。这样，在直观图示的帮助下，学生很快建立了模型，找到了解题思路。之后，教师要求学生对照图示说说自己的思路，学生表示：图中用圆圈代表人，实心的圆圈就是小华，因为小华处于左起的第5列，右起的第12列，所以小华左边排4个人，右边排11个人，计算所有的列数可以用4+1+11，也可以用5+12-1。同理，可以找到所有的行数是6+1+15，也可以是7+16-1，有了列数和行数，用乘法就可以算出所有的人数。还有学生补充了计算行数和列数的不同方法：可以直接用5+11或12+4来计算列数，用7+15或16+6来计算行数。学生在介绍自己的思路时，在之前的图示上加上了大括号（如下页图2），让自己的思路一目了然。上述案例中，学生通过画图开启了自己的思考之路，并对照图形阐述了自己的思维过程，尤其图2的大括号概括体现了学生不同的思考，是思维可视化的典型实例。

2.打通学生的数学思维路径。

解决问题时，一些学生更多会通过回忆的方式去寻求答案，其中，有混淆不清的，有似是而非的。这体现出学生的思维路径不通达，久而久之，学生就不愿意思考了，也不会思考了。要打通学生的思维路径，需要教师贴近学生的“最近发展区”，给学生搭建思维的“脚手架”。其中一个重要的途径，就是促进学生的思维可视化，用形象的材料助推学生理解题意，帮助他们建立基本的解题思路。

如教学苏教版五上“小数的意义和性质”单元，有这样一道练习题：如果一个两位小数“四舍五入”得到3.6，那么这个两位小数最小是多少？最大是多少？教学时，教师可以通过图示来打通学生的思维通道：让学生在数轴上找到3.6。通过审题，学生发现需要先在数轴上的3.6左右找出一些两位小数，再结合“四舍五入”的法则来确定符合要求的两位小数的范围（如图3）。结合图示，学生很容易找到与3.6相邻的两个一位小数分别是3.5和3.7，为了找到符合要求的两位小数，需要将这三个小数之间的每一大段再平均分成10份。学生发现，3.6左边的小数是根据“五入”法得到3.6的，需要满足百分位上大于等于5的条件;3.6右边的两位小数是根据“四舍”法得到3.6的，需要满足百分位上小于等于4的条件。这样，学生就可以用自己喜欢的画图方式圈出所有符合条件的两位小数，并找出最小的和最大的两位小数分别为3.55和3.64。学生无论是圈出符合要求的两位小数，还是圈出一个范围，其思维都将外显出来，教师可以结合学生画的图洞悉其思维过程，判定其思维逻辑是否恰当。这样的教学可以为学生打通思维通道，拓展其思維路径，让其因为直观而对思考过程有更深刻的印象。

3.推动学生的数学思维进阶。

促进学生的数学理解是有效教学的不懈追求，推动学生数学思维能力的提升更是数学教学的高阶目标。在教学中，我们可以利用可视化的思维材料强化学生的数学理解，促进学生内化数学规律，形成稳固的数学知识体系。

如教学苏教版五上“小数的意义”时，笔者设计了这样一个环节：先让学生在正方形中画图表示出一位小数0.3，然后要求学生画图表示出两位小数0.38。画第二个图时，有的学生在第一幅图的基础上将图中第四大格平均分成10份（如图4），涂出8份;有的学生没有精确地平均分，只是估计了一下，然后大概表示出了0.38。引导学生比较不同的作品时，大部分学生对两幅图的思路是认可的，隐藏在学生的判断背后的，是他们对两位小数意义的理解：小数部分第二位的“8”表示将0.1平均分成10份，表示出这样的8份，这里体现出学生对小数部分进率为10的认识。之后，笔者引导学生想象：如果所有的大格都像第4大格一样平均分成10份，整个正方形被平均分成的份数以及0.38对应的份数是多少？学生从这个图示中清晰可见0.38的意义等同于分数中的[38100]。在学生画图表示出正方形中的0.38之后，笔者出示一条线段代表1（图5为整条线段中的关键部分），让学生尝试表示出0.38，学生结合之前的认识，将第四份均分成10小份，成功找出了0.38。这样，学生就初步学会了在数轴上表示两位小数，进一步厘清了小数的概念，对两位小数的认识从形象过渡到了抽象。

学生的数学理解不能总是在直观的背景之下，通过上述教学案例可以看出，同一类问题中的思维可视化可以强化学生的数学理解，助推学生的思维进阶。这样的学习不仅对于学生体会两位小数的意义有帮助，也为其后面探究三位甚至更多位数小数的意义搭建了思维的阶梯，促进学生的数学理解从形象走向抽象、从单一走向多元、从基本走向提升。

（作者单位：江苏省海安高新区胡集小学）