函数与方程思想在解题中的运用

李鹏泽

函数与方程的思想是中学数学的重要思想，也是近几年高考的重要考点，占全卷比例大约为l0%左右，常用函数和方程的思想去处理不等式、数列、解析几何和立体几何中的问题，使问题得到转化，从而复杂问题简单化。

近几年函数与方程的思想在高考试题中的应用主要表现在两个方面：一是借助有关初等函数的性质，解有关求值、解（证明）不等式、解方程以及讨论参数的取值等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关性质，达到化难为易、化繁为简的目的。

一、函数与方程的概念

函数与方程是两个有着密切联系的数学概念，它们之间相互渗透，很多方程的问题需要用函数的知识和方法去解决，很多函数的问题也需要方程的知识和方法的支援，函数与方程之间的辩证关系，形成了函数方程思想。因此，函数与方程思想就是用函数、方程的观点和方法来处理变量或未知数之间的关系，从而解决问题的一种思维方式，是一种很重要的数学思想.

（1）函数的思想，就是用运动和变化的观点，集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，通过建立函数关系或构造函数，运用函数的图像或性质去分析问题、转化问题，使问题获得解决的思想，它是对函数概念的本质认识。函数思想的实质是用运动变化的观点、相互联系、相互制约的观点去认识和处理有关问题，它既是一种认识问题时在观念上的指导，又是一种处理问题时在策略上的选择。这种思想方法重在对具体问题的变量的动态研究，从变量的运动变化、联系和发展的角度拓宽解题思路.

应用函数思想解题，确立变量之间的函数关系式是一关键步骤，大体可分为下面两种情况：（1）根据题意建立变量之间的函数关系式，把问题转化为相应的函数问题;（2）根据需要构造函数，利用函数的相关知识解决问题。

（2）与函数思想相联系的就是方程的思想，是在解决问题时，用事先设定的未知数沟通问题中所涉及的各量间的制约关系，列出方程（组），从而求出未知数及各量的值，使问题获得解决，所设的未知数，沟通了变量之间的联系，它是对方程概念的本质认识。方程可以看作未知量与已知量相互制约的条件，它架设了由已知探索未知的桥梁，事实上，方程的解就是函数的图象与x轴的交点的横坐标，函数也可以看作二元方程，通過方程进行研究。方程思想是动中求静，研究运动中的等量关系.用方程的思想方法解题，就是要用对立统一的观点，分析和研究具体问题中的数量及其关系，把对立的已知与未知通过相等关系统一在方程中（或构造出一个方程），用求解方程或对方程性质的研究使问题得以解决。

二、函数与方程思想在解题中的应用

（1）函数与不等式的相互转化，对函数当y>O时，就化为不等式，借助于函数的图象和性质可解决有关问题，而研究函数的性质也离不开不等式。

（2）数列的通项与前n项和是自变量为正整数的函数，用函数的观点去处理数列问题十分重要。

（3）解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决.这都涉及二次方程二次函数的有关理论.

（4）立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达 式的方法加以解决。

在近几年高考中，函数思想主要用于求变量的取值范围、解不等式等，方程观点的应用可分为逐渐提高的四个层次：①解方程;②含参数的方程的讨论;③转化为对方程的研究，如曲线的位置关系、函数的性质、集合的关系;④构造方程求解。

纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，就带动起了中学数学的“目”。熟练掌握基本初等函数的图象和性质，是应用函数与方程思想解题的基础.善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。

三、学习函数与方程思想应注意问题

函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的应用。运用函数和方程思想，关键是如何产生和形成这两种思想，因此同学们在第二轮复习中必须有意识地培养和形成这种思想，因而在复习中应切实做好如下几点：

（1）深刻理解一般函数的图像和性质，熟练的掌握一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数的具体特征，是应用函数思想的基础，而善于观察问题的结构特征，挖掘隐含特性，从而恰当构造函数和妙用函数性质及图像，是实施应用函数思想解题的关键。

（2）在解答非函数问题时，要注意对问题中各元素仔细地观察和分析，产生由此及彼的联想，构造出相关的函数模型，从而使问题获得巧妙地解决。

（3）根据题目条件列出方程（或构造方程），通过对方程的研究，从而使问题顺利地获得解决。

（4）利用方程解决有关函数的问题.

在许多数学问题中，一般都含有常量、变量或参变量，这些参变量中必有一个处于突出的、主导的地位，我们称之为主元，于是就可构造出关于主元的方程，主元思想有利于回避多元的困扰，解方程的实质就是分离参变量。