九连环中的数学原理

捌元

今天，宁宁放学回到家时，发现客厅的茶几上放着一个奇怪的玩具。为什么说是奇怪的玩具呢？因为这个玩具由九个相互连接的圆环组成，套装在一个中空的长形柄中。圆环与圆环之间，圆环与环柄之间彼此相套，交错相连。

正当宁宁拿着这个奇怪的玩具翻来覆去地把玩时，门口传来了爷爷中气十足的吟诗的声音：“两环互相贯为一，得其关捩解之为二，又合而为一。今有此器，谓之九连环。”宁宁一看见爷爷，就连忙凑上前去问道：“爷爷，您怎么来了？这玩具是您带来的？”爷爷笑呵呵地拿过宁宁手中的玩具，一边把玩一边说：“这可不是普通的小玩具，它是中国杰出的益智玩具——九连环。”

你会玩九连环吗？

“九连环？那这个玩具应该怎么玩呢？”宁宁挠挠头，疑惑地问道。

“很简单，只要把九个圆环从这个长柄上解下来就可以了。”爷爷边说边给宁宁演示九连环的拆解方法，“第一个环，在任何情况都能够自由上下。如果某一个环在上面的环柄上，而它前面所有的环都在下面的环杆上，那么这个环的后一个就可以放到上面，也可以放到下面。也就是说，如果我们想把第九个环卸下，那么就要把第八个环留在上面的环柄上，而把前面七个环放到下面，进而把拆解‘九连环转变为拆解‘七连环。”

爷爷继续慢条斯理地总结道：“因此，要想装上或者拆下第n个环（第一个环除外），必须满足两个条件，一是第（n-1）个环在环柄上，二是第（n-1）个环前面的所有环全部不在环柄上。”

爷爷的话和一连串的展示动作让宁宁的思绪和眼睛都乱了，宁宁连忙打断了爷爷：“爷爷，这个九连环的拆解太复杂了。”爷爷摸了摸宁宁的头，笑着说：“其实并不难，你只要记住口诀就行。上俩下一个，再动后一个;上一个下俩，再动后一个。”

听了爷爷的话，宁宁思考了一会儿，说道：“我好像明白了。”说罢，宁宁便拿过九连环，坐在沙发上认真地拆解起来。

可没一会儿，宁宁就拿着拆解了一半的九连环过来向爷爷诉苦：“爷爷，九连环的拆解好麻烦啊。我要是想完全拆解下来，需要多少步啊？”爷爷摸着脸上的胡子，故作神秘地说：“其实这个九连环的拆解步数涉及到一个数学原理，把这个数学原理弄懂了，你就能算出解开九连环所需的步数。”

听了爷爷的话，宁宁顿时来了兴趣，忙问：“爷爷，是什么样的数学原理？”

来，一起揭晓原理

爷爷拿来纸和笔，对宁宁说：“你先在纸上画一个表格，然后我们一起将解开每个环所需的步数记录下来。”

接下来，爷爷就带着宁宁开启了九连环的探索之旅。

爷爷说：“首先，我们假设环的数量为n，解开n连环所需的总步数是Sn，解下第n个环的步数为an。当环柄上只有一个环时，Sn=an=1。”

宁宁一边在表格填上数字，一边思考：“环柄上有两个环的时候，可以直接将第二个环卸下，再卸第一个环。因此，当n=2时，an=1，Sn=2。”爷爷向宁宁竖起了大拇指，称赞道：“不错，接下来你可以自己探索了。”

宁宁一边动手拆解九连环，一边嘟囔着：“有三个环的时候，如果要卸下第三个环，就需要先卸下第一个环，再把第三个环直接卸下。然后为了解下第二个环，需要把第一個环套上，再同时解下两个环。因此，当n=3时，an=2，Sn=5。”

“不错不错。以此类推，我们可以知道要卸下第n个环，就需要先卸下前（n-2）个环，其总步数就为Sn-2。这时，我们再需要一步就可以把第n个环解下，所以卸下第n个环需要an=Sn-2+1步，而为了解下第（n-1）个环，还需要把前面的（n-2）个环套上，套上前（n-2）个环就需要Sn-2步（因为装上和卸下的步骤正好相反，所以步数相同）。最后卸下前面（n-1）个环需要Sn-1步，所以卸下n个环共需要Sn=2Sn-2+ Sn-1+1步。因此，解开九连环所需要的步数就是一道数列题——已知S1=1，S2=2，an=Sn-2+1，Sn=2Sn-2+ Sn-1+1，求Sn（n≥3）。”爷爷接着宁宁的话分析道。

通过计算，宁宁求出拆解一个九连环需要341步。“这么看来，拆解九连环并不难。只是在拆解的过程中，需要不断地将环套上套下，玩家就得倾注耐心，记住步骤。”宁宁感叹道。

爷爷忙不迭地补充道： “这就是拆解九连环的关键。九连环虽然拆解步骤简单，但是它出现后却可以在民间广为流传，盛行不衰，这其中，数学的魅力功不可没呀。”