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0.和1,谁更大?

2021-09-02谢曲波

数学大王·中高年级 2021年8期
关键词:瑞瑞整数绳子

谢曲波

瑞瑞把数学期中考试的试卷往书桌上一甩,气哼哼地说:“明明就不相等嘛!”在书桌旁看书的爸爸被吓了一跳,心想:这又是谁招惹他了?爸爸合上书,拿过桌上的数学试卷仔细看了一遍。瑞瑞考得不错啊,99分,只有一道比较大小的题扣了1分。难道瑞瑞生气的根源就在这里?爸爸来到瑞瑞的身旁坐下,微笑着询问:“怎么了?是哪里想不通啊?”

瑞瑞显然余怒未消,指着试卷上的红叉说:“0.9和1比较,肯定是1大啊。虽然0.9无限接近于1,但总比1小一点点吧!可我们的老师非说它们是相等的!”

0.9999……=1?

“我觉得你的想法好像有道理啊,那老师是怎么解释的呢?”爸爸先安抚了一下瑞瑞的情绪,让他把想说的话全部说出来。

瑞瑞想了想,拿出纸和笔写了起来。不一会儿,纸上便出现了两种证明方法。

瑞瑞解释完这两种方法后,爸爸继续追问:“你觉得老师给出的这两种证明方法有什么问题吗?”

“问题我倒是看不出来,可我心里就是觉得0.9只是无限接近于1,总差那么一点点。”说完,瑞瑞把大拇指和食指捏在一起。

爸爸知道,上面的证明方法是有问题的。为什么有问题呢?这是因为0.9=0.999……是一个无限循环小数。在数学中,无限循环小数是不能进行加减乘除运算的。不过上边的结论是正确的,0.9确实等于1。但要小学生理解这个概念,还真有些难度,瑞瑞的老师这样证明也算是用心良苦了。对于这个结论,可能要等孩子们长大了,学习了高等数学后才能更深刻地理解。

正确的证明方法

有没有比较直观的方法能让瑞瑞更好地理解0.9=1,打消他心中的疑虑呢?爸爸沉思了好一会儿,才问瑞瑞:“如果两个数不相等,那么它们俩中间是不是一定还存在其他的数呢?”

瑞瑞想了想,肯定地回答:“是的,比如3和4不相等,那么3和4之间就会有像3.1、3.055、3.80009等无数个数。”

“那么,我们反过来想。如果两个数之间不存在其他数了,是不是就意味着它们其实是相等的呢?”爸爸继续发问。

瑞瑞思考片刻后,重重地点了点头。

爸爸不紧不慢地说:“假设存在一个数,它比0.9大,但又比1小。那我们想一想,这个数长什么样?”

“首先,它的整数部分不可能是1。如果整数部分是1的话,那它就不可能比1小了。”瑞瑞边想边说,“所以,它的整数部分只能是0。”

“很好,继续说下去!”爸爸不失时机地给予瑞瑞鼓励。

“它的整数部分是0,小数部分全部是9的话,就和0.9一样大,不会比0.9大。”受到鼓励后,瑞瑞的语速变快了,“也就是说不存在这样的数,对吗?”

“是的,0.9和1之间不存在其他数了,这是不是可以说明它们其实是相等的呢?”

瑞瑞惊叹道:“真是太不可思议了!直觉告诉我0.9一定比1小,数学却证明了直觉有时是不可靠的。”

看着瑞瑞兴奋的表情,爸爸知道他心中的疑虑已消除得差不多了:“没错。在古希腊,曾有许多先贤智者经常讨论一些看起來意义不大的问题,如阿基里斯的追乌龟悖论等。因为他们意识到有时候经验并不真实,而推理和证明才更加可靠。有了这样的思想,我们才能更好地认识这个世界,更加接近真理!”

有趣的数学事实

不打开绳结、不割断绳子,可以把左图中的两个人解开吗?

只要玛丽先抓住自己手上的绳子的中间部分,将其穿过杰克右手的绳圈,方向是从手腕到手掌。随后,玛丽将绳子回绕过杰克手掌并伸到手外侧,就可以解开绳子了。

看,图中的三角形后来为什么会空出一格呢?

这是因为红色三角形和蓝色三角形并不相似,所以不能把三角形拼成原样。我们可以通过计算面积来验算,假设正方形格子的边长为1 cm,那么上方拼组图形的面积为5×2÷2+5×3+8×3÷2=5+15+12=32(cm2)。如果上方拼组图形是一个三角形,那么面积还可以这样计算:13×5÷2=32.5(cm2),由此可以知道上方图形并不是一个三角形。因此,将上方的图形拼板重新排列后,会空出一格。

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