Bingham流体在低渗透多孔介质中球向渗流的分形模型

王世芳，夏 坤

(湖北第二师范学院物理与机电工程学院，武汉 430205)

随着低渗透和特低渗透油藏的不断开发，非牛顿流体在多孔介质中的渗流规律引起了广大国内外学者的关注与兴趣[1-5].大量的实验证明，在低渗透和特低渗透油藏中存在启动压力梯度，当实际的压力梯度大于某一临界值时，流体才能发生流动，此时流动行为表现出非达西渗流现象，这类流体称为Bingham流体.王世芳等人[5]推导了Bingham流体在点到圆形分叉网络中的启动压力梯度的分形解析表达式，提出了启动压力梯度不仅与屈服应力有关还与分叉比、母管直径、分叉角度和总级数等分叉网络的微结构参数有关.员美娟等[6]基于多孔介质是由一组满足分形分布的毛细管组成的，利用分形理论提出了Bingham流体在多孔介质平面平行流的启动压力梯度的分形模型.苗同军等[7]基于分形理论，提出了牛顿流体在多孔介质中球向渗流两相流的相对渗透率的分形模型.考虑毛细管横截面形状后，王世芳等[4]研究了牛顿流体在由任意截面形状毛细管组成的多孔介质中球向渗流的渗透率的分形解析表达式.尽管诸多文献研究了Bingham流体在多孔介质中的渗流问题，但对于Bingham流体在多孔介质中球向渗流的研究却很少见到报道.

本文根据分形理论，并利用Bingham流体满足的广义达西定律，推导了Bingham流体在多孔介质中球向渗流的渗透率和启动压力梯度的解析表达式，所得表达式与多孔介质的微观结构参数有关，分析了多孔介质的微结构参数对Bingham流体渗透率以及启动压力梯度的影响.

1 Bingham流体在多孔介质中球向渗流模型的建立

三维的球向渗流广泛应用于低渗透油气储集层，流体从井筒外部向井筒中心流动，如图1所示，其中r为储层中的某一点到井中心的距离，r0为井筒半径.球向渗流模型是油气藏开采中的重要模型，本文模型假设组成多孔介质的毛细管是沿球径向分布的.

图1 多孔介质球向渗流的示意图Fig.1 Sketch map of spherical flow in porous media

根据分形理论，假设多孔介质是由沿球的径向分布、大小不同的弯曲毛细管构成，毛细管之间彼此不相交.井筒壁上毛细管直径大于或等于λ的总数目满足以下的分形标度律[8]：

(1)

式中，Dp为孔隙分形维数，在二维空间中，0

(2)

由于多孔介质中毛细管数目很多，所以可以把(1)式可当作是连续可微分的函数，对(1)式两边微分，得直径在λ与λ+dλ之间的毛细管数目为：

(3)

半径为r0的球面井筒壁的孔隙率Φ0与分形维数满足以下关系[8]，

(4)

式中,λmin为最小孔隙直径，DE为欧几里德维数，在二维空间DE=2；在三维空间，DE=3.

假设多孔介质中的孔隙是满足分形分布的，距离井筒中心r处的面孔隙率为：

Φr=Sp/Sr,

(5)

其中,Sr为半径r处的球面面积，Sp为半径r处的孔隙总面积，其大小由以下公式给出：

(6)

将(6)式代入(5)式得：

(7)

将(2)式代入(7)式，得到：

(8)

由式(8)可知Φr随着径向距离r的增加而减小.当r→∞，局域面孔隙率Φr为0，解释为在总毛细管面积一定的情况下，随着径向距离r的不断增大，毛细管会变得越来越稀疏，即单位横截面的毛细管数目越少，导致毛细管孔隙所占的比例越来越小，因此局域面孔隙率越来越小.

流体在油气藏等低渗透多孔介质中的流动表现出Bingham流体的性质.Yun等[6]给出Bingham流体通过直径为λ的单根毛细管的流量可以表示成:

(9)

其中,Δp是直径为λ、实际的长度为re的单根毛细管两端的压强降；μ为粘度，τ0为屈服应力；在通常情况下，毛细管两端直线距离长度要比实际长度要短，徐鹏和郁伯铭等[8]指出直线距离长度r与毛细管实际长度re满足以下标度率关系：

re=rDTλ1-DT.

(10)

迂曲度分形维数DT代表毛细管或流线的弯曲程度，对于二维空间1≤DT≤2，若DT=1则毛细管是直的；若DT=2则毛细管是弯弯曲曲的，充满整个二维平面空间.

根据式(3)(9)(10)可以计算出Bingham流体通过球向多孔介质的流量：

(11)

(12)

上式表示Bingham流体流入横截面积为Ar=4πr2多孔介质的总流量.

当屈服应力τ0=0时，(12)式可以化简为

(13)

此时，式(13)与牛顿流体流量表达式相同[7].

Prada和Civan[10]提出Bingham流体满足广义达西定律：

(14)

其中，K为渗透率，J为启动压力梯度.比较式(12)(14)可以得到Bingham流体流经多孔介质球向渗流的渗透率和启动压力梯度的表达式：

(15)

(16)

(15)式为Bingham流体在多孔介质中作球向渗流的渗透率，与牛顿流体的渗透率表达式相同[7]，说明了本模型的正确性.同时式(15)还表明Bingham流体的渗透率不仅与多孔介质微结构参数(Dp、DT、A0、λmax)有关，还与径向距离r有关，径向距离r越大，球向渗透率K越小.这是因为随径向距离r增大，局域面孔隙率Φr越小，毛细管的分布越来越稀疏，从而导致流动阻力越来越大，最终导致渗透率越来越小.在(15)(16)式中，每个参数都具有具体的物理意义，不含任何经验参数，故能揭示影响Bingham流体在多孔介质中球向渗流的物理机理，物理意义明确清晰.

当屈服应力τ0=0时，(16)式化为：

J=0.

(17)

上式正好说明了牛顿流体无启动压力梯度存在.

2 结果分析与讨论

根据方程(15)画出了在不同迂曲度分形维数下，球向渗透率随径向距离r的变化趋势，如图2所示.从图2中可以看出，球向渗透率随径向距离的增大而减小，这与实际情况一致，另外也可以发现渗透率随迂曲度的增大而减小，即在同一径向距离r处，迂曲度越大球向渗透率越小，这是由于迂曲度越大，流体在流动的过程中的流动路径越弯曲，所受的阻力也就越大，因此渗透率越小.

图2 渗透率随径向距离的变化趋势(参数：r0=0.1 m，λmax=0.5 mm，Dp=1.2，Φ0=0.2)Fig.2 The permeability versus the radial distance r(parameters:r0=0.1 m，λmax=0.5 mm，Dp=1.2 and Φ0=0.2)

从图3中可以看出在迂曲度分形维数一定的情况下，渗透率随井筒壁面孔隙率的增大而增大；在井筒壁面孔隙率一定的情况下，迂曲度分形维数越大，渗透率越小.这也表明Bingham流体在流动过程中随着迂曲度增大，流体的流动路径越弯曲，所受的流动阻力越大，渗透率越小.

图3 渗透率在不同迂曲度分形维数下随孔隙率的变化趋势(参数：r0=0.1 m，r=5 m，λmax=0.5 mm，Dp=1.2)Fig.3 The permeability versus the porosity at different values of DT (parameters:r0=0.1 m，r=5 m，λmax=0.5 mm，Dp=1.2)

从图4中可以看到启动压力梯度随径向距离的增大而增大，这是因为随着径向距离逐渐增大局域面孔隙率减小，导致了流动阻力随之增大，继而启动压力梯度也随之增大.从该图中也可以看出随着迂曲度分形维数的增大，启动压力梯度增大，这是由于迂曲度分形维数越大流动路径越弯曲，Bingham流体在流动过程中所受阻力越大，最终导致了启动压力梯度也越大.

图4 启动压力梯度在不同迂曲度分形维数下随径向距离的变化(参数：τ0=1.0 Pa，λmax=0.5 mm，Dp=1.2)Fig.4 The starting pressure gradient vs the radial distance at different tortuosity fractal dimensions (parameters:τ0=1.0 Pa，λmax=0.5 mm，Dp=1.2)

图5给出的是启动压力梯度在不同屈服应力下与毛细管最大直径的变化关系.可以看出启动压力梯度随着毛细管最大直径的增大而减小，这是因为毛细管最大直径越大，流体越容易流动，启动压力梯度越小.同时启动压力梯度随屈服应力的增大而增大，即在相同毛细管最大直径情况下，流体的屈服应力越小，启动压力梯度越小，也就意味着Bingham流体越容易流动.

图5 启动压力梯度在不同屈服应力下与毛细管最大直径的变化关系(参数：Dp=1.2，DT=1.2，r=2 m)Fig.5 The relationship between the starting pressure gradient and the maximum diameter at different yield stresses (parameters:Dp=1.2，DT=1.2，r=2 m)

图6 启动压力梯度与渗透率变化关系(参数:Dp=1.2，τ0=1.0 Pa，r0=0.1 m，Φ0=0.2)Fig.6 The starting pressure gradient vs the permeability (paramenters:Dp=1.2，τ0=1.0 Pa，r0=0.1 m，Φ0=0.2)

图6给出的是启动压力梯度与渗透率的变化关系，从图中可以看出，启动压力梯度随着渗透率的增加而减小，并且在渗透率较高时，启动压力梯度很小，但在渗透率非常低时，启动压力梯度急剧上升.通过分析可以知道，在低渗透油藏中，启动压力梯度不可忽略.

4 总结

根据分形理论和达西定律，提出了Bingham流体在低渗透多孔介质中球向渗流的分形模型.研究结果表明Bingham流体球径向渗透率和启动压力梯度是分形维数、毛细管最大直径、径向半径、孔隙率、屈服应力的函数，模型不含经验参数，每个物理量都有明确的物理意义，清楚的揭示了Bingham流体在多孔介质中球向渗流的物理机制.同时研究结果表明渗透率随径向距离的增大而减小，随孔隙率的增大而增大，随迂曲度分形维数的减小而增大，这也与实际情况相符；启动压力梯度随径向距离和迂曲度分形维数增大而增大，随着渗透率的增加而减小，在渗透率较高时，启动压力梯度可忽略，但在渗透率极低时，启动压力梯度不可忽略；同时启动压力梯度也随着毛细管最大直径的增大而减小，随着屈服应力的增大而增大.本文的研究能为油藏开采提供一定的理论依据.