从双图象获取信息

于秀坤

从双图象获取信息解决身边数学问题，是近年中考命题的热点. 求解此类题目，需要从已知图象中发掘信息，先求函数解析式，再根据函数解析式得出结论.

例1（2020·辽宁·大连）甲、乙两个探测气球分别从海拔5 m和15 m处同时出发，匀速上升60 min.图1是甲、乙两个探测气球所在位置的海拔y（单位：m）与气球上升时间x（单位：min）的函数图象.

（1）求这两个气球在上升过程中y关于x的函数解析式;

（2）当这两个气球的海拔高度相差15 m时，求上升的时间.

分析：（1）从图象中得到点的坐标，利用待定系数法求函数解析式;

（2）根据分析可知：当x大于20时，两个气球的海拔高度可能相差15 m，列出关于x的方程，求解可得到结论.

解：（1）设甲气球的函数解析式为y = kx + b，

乙气球的函数解析式为y = mx + n，

观察图象可知甲、乙两个探测气球分别从海拔5 m和15 m处同时出发，匀速上升60 min.

则甲探测气球经过点（0，5）和（20，25），乙探测气球经过点（0，15）和（20，25）.

根据题意得[b=5，20k+b=25，][ n=15，20m+n=25，]

解得[k=1，b=5，][ m=12，n=15.]

则甲气球的函数解析式为y = x + 5，乙气球的函数解析式为y = [12]x + 15.

（2）由初始位置可得：

当x大于20时，两气球的海拔高度可能相差15 m，且此时甲气球海拔更高，

可列方程为x + 5 - [12x+15] = 15，解得x = 50，

则当这两个气球的海拔高度相差15 m时，上升的时间为50 min.

例2（2020·河南）暑期将至，某健身俱乐部面向学生推出暑期优惠活动，活动方案如下.

方案一：购买一张学生暑期专享卡，每次健身费用按6折优惠;

方案二：不購买学生暑期专享卡，每次健身费用按8折优惠.

设某学生暑期健身x（次），按照方案一所需费用为y1（元），且y1 = k1x + b;

按照方案二所需费用为y2（元），且y2 = k2x. 其函数图象如图2所示.

（1）求k1和b的值，并说明它们的实际意义.

（2）求打折前的每次健身费用和k2的值.

（3）八年级学生小华计划暑期前往该俱乐部健身8次，应选择哪种方案所需费用更少？说明理由.

分析：（1）从图象中获取图形所过点的坐标，代入y1 = k1x + b，得到关于k1，b的方程组并求解;

（2）根据方案一每次健身费用按6折优惠，可得打折前每次健身费用，再根据方案二每次健身费用按8折优惠，求得k2;

（3）将x = 8分别代入y1和y2关于x的函数解析式，进行比较即可.

解：（1）∵y1 = k1x + b的图象经过点（0，30），（10，180），

∴ 根据题意可得[b=30，10k1+b=180，][ k1=15，b=30.]

k1 = 15表示购买一张学生暑期专享卡后每次健身费用为15元，

b = 30表示购买一张学生暑期专享卡的费用为30元.

（2）由题意可得，打折前每次健身费用为15 ÷ 0.6 = 25（元），

则k2 = 25 × 0.8 = 20.

（3）选择方案一所需费用更少.

理由：由题意可知y1 = 15x + 30，y2 = 20x.

当健身8次时，选择方案一所需费用为y1 = 15 × 8 + 30 = 150（元），

选择方案二所需费用为y2 = 20 × 8 = 160（元）.

∵150<160，∴选择方案一所需费用更少.

某生态体验园推出了甲、乙两种消费卡，设入园次数为x时所需费用为y元，选择这两种卡消费时，y与x的函数关系如图3所示，解答下列问题：

（1）分别求出选择这两种卡消费时，y关于x的函数表达式;

（2）请根据入园次数确定选择哪种卡消费比较合算.

答案：（1）y甲 = 20x;y乙 = 10x + 100.

（2）当入园次数小于10次时，选择甲消费卡比较合算;

当入园次数等于10次时，选择两种消费卡费用一样;

当入园次数大于10次时，选择乙消费卡比较合算.