力矩分配的矩阵方程法

摘  要：为提高力矩分配的计算效率和计算精度，在传统力矩分配法的基础上，使用方程方法，引入矩阵形式，建立矩阵方程法，从而提高了结构计算效率，解题思路步骤清晰，且计算结果是精确解。

关键词：力矩分配法;矩阵方程法;多结点连续梁;无侧移钢架

传统力矩分配法是求解超静定结构的实用计算方法，该法克服了力法和位移法需要联立求解方程组的缺点，通过逐次分配传递不平衡力矩来逼近精确解。[1]但是具有计算量大，精度有限的缺点。

本文建立矩阵方程法，该法在传统力矩分配法的基础上重新引入方程组，但该方程组具有部分系数为1的特点，仍较力法和位移法的方程组简单，同时利用方程系数物理意义，引入矩阵形式，和最终弯矩求解的通式，使求解思路步骤清晰简洁，且计算结果是精确解。

1 力矩分配矩阵方程法

1.1 计算步骤（以三个分配点A、B、C为例说明，可推广至多个分配点）

①计算各分配系数μ、传递系数C、固端弯矩MF、放松弯矩m0。

②列矩阵

③计算各杆端最后弯矩

通式：MPQ=MPQF+MPQ+=MPQF+XPμPQ+XQμQPCQP

（P、Q为分配点编号;当P为非分配点时，XPμPQ=0）

1.2 基本原理

结合以下连续梁算例说明：

假设B、C、D三结点同时进行一次分传，分传完成后三分配结点放松力矩被全部放松。

设XB、XC、XD分别为对应结点分配的总力矩，分析可知分配点放松弯矩m0由对应结点分配总力矩X以及传递得到的力矩两部分组成。列方程求解可得各结点分配的总力矩X，回代、将固端弯矩MF和结点分传各行叠加便得各杆端最终弯矩。

对于连续梁，按图2表格形式计算即可。但对于钢架，不便于列表，为免去列表，直接由分配系数μ、传递系数C、固端弯矩MF、放松弯矩m0求得杆端最终弯矩，现引入矩阵的方法。

分析线性方程各系数及常数项，知结点对应分配的总力矩X的系数为1，非对应X的系数为μC，常数项为放松弯矩m0。列出矩阵形式如下：

为使矩阵形式统一，令1=μPP=CPP，得

分析最终叠加的过程，得到计算各杆端最后弯矩的通式：

MPQ=MPQF+MPQ+=MPQF+XPμPQ+XQμQPCQP

2 方法正确性及精度验算

为进行方法正确性及精度验算，选取文献[2]中等比数列弯矩分配法的例題作为算例。

例 两跨刚架无侧移，L1=8m，，L2=10m，高H=5m，各梁柱刚度相等均为EI，，EA为无穷大，短跨布置均布载荷q1 = 10kN/m，长跨布置均布载荷q2=20 kN/m，见图3

3 结论

本文提出了在含有多个分配点的连续梁、无侧移钢架中用矩阵方程法求精确解的计算步骤，解释了基本原理，并通过算例进行了验证。 得到以下结论：

（1）矩阵方程法可以避免弯矩分配传递的重复运算，利用参数、矩阵、通式直接求得杆端弯矩的精确解，思路步骤清晰，形式统一，求解快速方便，实用性强。

（2）在教学中，本文提出的方法可以在学生掌握传统弯矩分配方法后进行扩展，使学生对力矩分配法有更全面的理解。

参考文献：

[1]朱慈勉.结构力学[M].北京：高等教育出版社，2007.

[2]刘天一，陈素文.含3个分配点结构的弯矩分配公式法精确解.力学与实践，2014，36（02）：207-209+206.

[3]刘茂燧，程渭民.一次性分配的力矩分配法[J].力学与实践，2007（04）：73-75.

作者简介：朱晓江（2000—   ），男，汉族，浙江嘉兴人，本科生。