高等数学教学培养大学生的应用能力探究

许克威

摘  要：本文主要是从积极的方面介绍高等数学培养大专学生应用能力提高方面做个探讨，希望更多的大专学生能学习到高等数学课程，领悟到高等数学的核心思想，在工作岗位上有所作为。高等数学核心思想是极限，其主要研究对象是函数，函数是二个量之间的关系。高等数学主要研究方法是三大运算，首先是极限运算，极限运算解决函数连续问题。其次是函数的微分运算，微分运算是解决函数单调性，最值和函数成图等问题。最后是积分运算，积分运算是解决连续区间内累积和的问题。高等数学课程的特点是观点鲜明，利用图表，有难度更有理有据，对大学生应用能力的培养和提高具有很大的帮助作用。

关键词：高等数学课程;微分运算;积分运算

1 函数极限定义与应用标准探究

在高等数学中，我们接触到的第一个定义就是函数极限的定义，这个定义是高等数学的核心思想，我们先来重温一下函数极限的定义。

定义：设函数在上有定义，A为一个常数，如果对于任意给定的正数（无论多么小），总存在正数，使7得当时，有

则称函数当时极限为A。

函数极限定义极其严缜。定义首先给极限制定了一个标准，这个标准就是定理中任意给定的一个无穷小量，给定了这个标准后定义又提供了检验该标准的方法，这个方法就是找到某一正数x，从x以右的所有的函数减去某个常数A的绝对值都要小于给定的这个标准小量。

从极限观点来看，无穷小量是极限为零的一个变量。古代人不知道如何求圆的周长，想了很多方法，我国古代数学家刘徵先从求圆内接六边形的周长开始，然后逐渐把边数扩大的方法来求圆的周长大小。刘徵每求一次就算一下正多边形周长与直径的比，用一个分数来表示，这样反复做了多次后，刘徵得到一个分数系列。刘徵的结论是圆内接正多边形的边数越多，圆内接正多边形的周长与圆周就越接近，所得到的分数就越接近圆周率。

我们可以很清晰的认识到，无论正多边形的边数如何，它都是一个圆内接的正多边形，不是圆。但是刘徵的方法是可以操作的，做出来的结果与预先设定的标准是无限接近的。

极限只能是在有标准的条件下可操作的方法中过程的无限接近，而不是达到。这种思想方法可以称为高等数学核心思想。这种思想贯穿了微积分的求极限，求导数，求积分的运算之中。它是一次革命性的思想转变，

表现为标准可以检验，方法可以操作，

由此及彼，此不一定是彼，彼也不一定是此。

抓大放小，抓主要矛盾，研究主要实体。

函数极限的思想从根本上改变了我们中学数学中呆板的举一返三的学习模式，它启发我们，做任何一件项目，先要制定出项目的应用标准，然后在此标淮下寻找到行之有效的可以操作的方法。

如果制定项目标准是一种创新思想，在这种思想下采取行之有效的操作方法是一种创业能力，我们职业教育培养的人才，就应该是这种具有创新思想创业能力的应用型人才。

2  三个导数中值定理在函数中证明及计算

高等数学中第二个运算是微分运算，微分运算中有三个中值定理，分别是罗尔定理，拉格朗日中值定理和柯西中值定理，这三个中值定理互为补充，再配合表格图形，对函数的研究如庖丁解牛一般准确。

先看罗尔定理;设函数满足

（1）在闭区间上连续，

（2）在开区间内可导

（3）若有

则至少存在一点，使

我们认真解读一下羅尔定理，罗尔定理的前二个条件是函数连续，或有可去间断点，第三个条件是重点，函数只要有二处函数值相等，那么在连续函数中就存在着极值点，通过把所有的极值点找出来，就确定了函数增减区间的分界点。这些点分布在坐标轴上就是函数的区间分界点。

我们找到了增函数和减函数的区间以后，如何判断区间内函数是增函数还是减函数呢？拉格朗日中值定理给予了很好的回答。

拉格朗日中值定理：设函数满足

（1）在闭区间上连续

（2）在开区间内可导

则至少存在一点，使

在中，，若，则函数单调增，反之，函数单调减。

拉格朗日还给我们提供了一种思路，若在一段区间内函数都是增函数，我们就可以用求导的总法来求解函数中的不等式和恒等式。

例如，证明当，

这类题目在中学数学中是难题，而应用拉格朗日中值定理，我们只须设，在内单调递增即可。证明过程如下。

证明;  设，

我们可以利用中值定理，通过表格来清楚的知道函数的增减区间和增减的性质。

例，讨论的单调性

解，函数y的定义域为

通过列表我们可以让读者清楚我们所做的工作，我们的工作条理清楚，以数据说明问题，以理服人。

3  五个函数贯穿三种计算方法之中

在高等数学中有五个基本初等函数贯穿始终，这五个基本初等函数是幂函数，指数函数，对数函数，三角函数和反三角函数。高等数学课程看起来问题多，思绪复杂，但贯穿整体的就是这五个基本初等函数及其组合而成的复合函数在极限运算中，微分运算中，积分运算中的应用和变化。我们学习者掌握了这条主线后就可以在学习中进行比较，使学习变得简单起来。

五个基本函数在极限和微分运算中较为简单，不多重复，在分部积分法中有两两相乘的积分情况。

它主要的方法和技巧就是把较难的积分转化为容易积分的，这不是一种偷梁换柱的耍滑头，而是在工作中用简单的技巧代替复杂的困难，是一种智慧，也是一种工作能力的体现。